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3.2 Théorème central limite
—Score du lab— / 100XP total—Série—
Pourquoi la courbe en cloche est partout
La loi des grands nombres dit que la moyenne se stabilise près de μ. Le théorème central limite dit à quoi ressemble l'erreur restante : pour des observations indépendantes de moyenne μ et de variance finie σ2, la moyenne standardisée σ/nXˉn−μ est approximativement normale centrée réduite pour n grand, quelle que soit la forme de la loi d'origine. Les sommes et moyennes de nombreux petits effets indépendants sont normales même quand les éléments ne le sont pas.
Xˉn≈N(μ,nσ2),μ∈Xˉn±1.96nσ(95%)(1)
C'est pourquoi un intervalle de confiance à 95 % pour une moyenne est la moyenne empirique plus ou moins 1,96 erreur type, et pourquoi la probabilité qu'une moyenne soit loin de son espérance se lit dans la table normale. Une somme de n termes indépendants d'écart type σ a pour écart type σn : la volatilité quotidienne passe à l'annuelle en multipliant par 252, ce qui est le même théorème vu du côté de la somme.
Un intervalle de confiance et une probabilitéLes rendements quotidiens ont σ=3%. La moyenne de n=36 jours a une erreur type de 3%/6=0,5%, donc un intervalle à 95 % pour la vraie moyenne est la moyenne empirique ±0,98%. Si l'erreur type vaut plutôt 0,25%, la probabilité que la moyenne empirique dépasse la vraie moyenne de 0,5% est P(Z>2)≈0,0228. Et 25 jours indépendants de volatilité 1 % s'additionnent en un écart type de 1%⋅25=5%.
TCL : moyennes et sommes de nombreux termes indépendants à variance finie sont approximativement normales.
Intervalle de confiance : moyenne ±1,96σ/n pour environ 95 %.
Racine du temps : la volatilité quotidienne indépendante passe à T jours par T.
Quand le théorème aide moinsL'approximation normale concerne le centre de la loi et suppose indépendance et variance finie. Avec des rendements à queues épaisses, elle s'installe lentement et dit peu de choses sur les extrêmes ; avec des grappes de volatilité, les observations ne sont pas indépendantes et l'échantillon effectif est plus petit que n. Vérifiez ces hypothèses avant de vous fier à un intervalle à 1,96 erreur type.
Lab : ce qui est noté
Une erreur type10 pts
Une probabilité de queue15 pts
Un intervalle de confiance15 pts
Ce que demande le théorème15 pts
Une somme sur plusieurs jours10 pts
Quand l'approximation est mauvaise15 pts
Les queues épaisses ralentissent le théorème20 pts
0/ 7 traités
1Réponse numérique10 ptsSans réponse
Les rendements quotidiens ont σ=3%. Quelle est l'erreur type de la moyenne de n=36 jours, en pourcentage ?
SE=accepté : ± 0.005
2Réponse numérique15 ptsSans réponse
L'erreur type d'une moyenne empirique est 0,25%. D'après le TCL, quelle est la probabilité que la moyenne empirique dépasse la vraie moyenne de plus de 0,5% ? Utilisez P(Z>2) et donnez quatre décimales.
P=accepté : ± 0.0005
3Réponse numérique15 ptsSans réponse
Avec une erreur type de 0,5%, quelle est la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne, en pourcentage ? Utilisez 1,96.
h=accepté : ± 0.005
4Choix15 ptsSans réponse
Quelle paire de conditions le TCL classique exige-t-il ?
5Réponse numérique10 ptsSans réponse
25 rendements quotidiens indépendants ont chacun un écart type de 1%. Quel est l'écart type de leur somme, en pourcentage ?
σsum=accepté : ± 0.005
6Choix15 ptsSans réponse
Sélectionnez toutes les situations où l'approximation normale de la moyenne empirique est mauvaise.
7Expliquer avec des mots20 ptsSans réponse
En deux phrases, expliquez pourquoi les moyennes de rendements à queues épaisses demandent plus d'observations avant de paraître normales.
Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier
