Teorema central do limite

Por que as curvas em sino estão em toda parte

A lei dos grandes números diz que a média se assenta perto de $\mu$ . O teorema central do limite diz como é o erro restante: para observações independentes com média $\mu$ e variância finita $\sigma^2$ , a média padronizada $\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ é aproximadamente uma normal padrão para $n$ grande, qualquer que seja a forma da distribuição original. Somas e médias de muitos pequenos efeitos independentes são normais mesmo quando as peças não são.

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

É por isso que um intervalo de confiança de 95% para uma média é a média amostral mais ou menos 1,96 erro-padrão, e por isso a probabilidade de uma média estar longe de sua esperança se lê na tabela normal. Uma soma de $n$ termos independentes, cada um com desvio-padrão $\sigma$ , tem desvio-padrão $\sigma\sqrt{n}$ : a volatilidade diária vira anual multiplicando por $\sqrt{252}$ , o mesmo teorema visto do lado da soma.

Um intervalo de confiança e uma probabilidadeOs retornos diários têm

\sigma=3\%

. A média de

n=36

dias tem erro-padrão de

3\%/6=0{,}5\%

, então um intervalo de 95% para a média verdadeira é a média amostral

\pm0{,}98\%

. Se o erro-padrão for

0{,}25\%

, a probabilidade de a média amostral exceder a verdadeira em

0{,}5\%

P(Z>2)\approx0{,}0228

. E 25 dias independentes de volatilidade 1% somam um desvio-padrão de

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

TCL: médias e somas de muitos termos independentes de variância finita são aproximadamente normais.
Intervalo de confiança: média $\pm1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}$ para cerca de 95%.
Raiz do tempo: a volatilidade diária independente passa a $T$ dias por $\sqrt{T}$ .

Quando o teorema ajuda menosA aproximação normal diz respeito ao centro da distribuição e exige independência e variância finita. Com retornos de caudas pesadas chega devagar e diz pouco sobre os extremos; com agrupamento de volatilidade as observações não são independentes, então a amostra efetiva é menor que

n

. Verifique esses pressupostos antes de confiar em um intervalo de 1,96 erro-padrão.

Lab: o que é avaliado

Um erro-padrão10 pts
Uma probabilidade de cauda15 pts
Um intervalo de confiança15 pts
O que o teorema exige15 pts
Uma soma de vários dias10 pts
Quando a aproximação é ruim15 pts
Caudas pesadas retardam o teorema20 pts

Por que as curvas em sino estão em toda parte

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

Um intervalo de confiança e uma probabilidadeOs retornos diários têm

\sigma=3\%

. A média de

n=36

dias tem erro-padrão de

3\%/6=0{,}5\%

, então um intervalo de 95% para a média verdadeira é a média amostral

\pm0{,}98\%

. Se o erro-padrão for

0{,}25\%

, a probabilidade de a média amostral exceder a verdadeira em

0{,}5\%

P(Z>2)\approx0{,}0228

. E 25 dias independentes de volatilidade 1% somam um desvio-padrão de

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

TCL: médias e somas de muitos termos independentes de variância finita são aproximadamente normais.
Intervalo de confiança: média $\pm1{,}96\,\sigma/\sqrt{n}$ para cerca de 95%.
Raiz do tempo: a volatilidade diária independente passa a $T$ dias por $\sqrt{T}$ .

n

. Verifique esses pressupostos antes de confiar em um intervalo de 1,96 erro-padrão.

Lab: o que é avaliado

Um erro-padrão10 pts
Uma probabilidade de cauda15 pts
Um intervalo de confiança15 pts
O que o teorema exige15 pts
Uma soma de vários dias10 pts
Quando a aproximação é ruim15 pts
Caudas pesadas retardam o teorema20 pts

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