La ley de los grandes números dice que el promedio se asienta cerca de μ. El teorema central del límite dice cómo es el error restante: para observaciones independientes con media μ y varianza finita σ2, el promedio estandarizado σ/nXˉn−μ es aproximadamente una normal estándar para n grande, cualquiera que sea la forma de la distribución original. Las sumas y promedios de muchos efectos pequeños independientes son normales aunque las piezas no lo sean.
Xˉn≈N(μ,nσ2),μ∈Xˉn±1.96nσ(95%)(1)
Por eso un intervalo de confianza del 95 % para una media es el promedio muestral más o menos 1,96 errores estándar, y por eso la probabilidad de que un promedio esté lejos de su media se lee en la tabla normal. Una suma de n términos independientes, cada uno con desviación típica σ, tiene desviación típica σn: la volatilidad diaria pasa a anual multiplicando por 252, el mismo teorema visto desde la suma.
Un intervalo de confianza y una probabilidadLos rendimientos diarios tienen σ=3%. El promedio de n=36 días tiene un error estándar de 3%/6=0,5%, así que un intervalo del 95 % para la media verdadera es el promedio muestral ±0,98%. Si en cambio el error estándar es 0,25%, la probabilidad de que la media muestral supere a la verdadera en 0,5% es P(Z>2)≈0,0228. Y 25 días independientes de volatilidad 1 % suman una desviación típica de 1%⋅25=5%.
TCL: promedios y sumas de muchos términos independientes de varianza finita son aproximadamente normales.
Intervalo de confianza: promedio ±1,96σ/n para cerca del 95 %.
Raíz del tiempo: la volatilidad diaria independiente pasa a T días con T.
Cuando el teorema ayuda menosLa aproximación normal se refiere al centro de la distribución y exige independencia y varianza finita. Con rendimientos de colas gruesas llega despacio y dice poco de los extremos; con agrupamiento de volatilidad las observaciones no son independientes, así que la muestra efectiva es menor que n. Compruebe estos supuestos antes de fiarse de un intervalo de 1,96 errores estándar.
Lab: qué se califica
Un error estándar10 pts
Una probabilidad de cola15 pts
Un intervalo de confianza15 pts
Lo que exige el teorema15 pts
Una suma de varios días10 pts
Cuando la aproximación es mala15 pts
Las colas gruesas frenan el teorema20 pts
0/ 7 respondidos
1Respuesta numérica10 ptsSin responder
Los rendimientos diarios tienen σ=3%. ¿Cuál es el error estándar del promedio de n=36 días, en porcentaje?
SE=aceptado: ± 0.005
2Respuesta numérica15 ptsSin responder
El error estándar de una media muestral es 0,25%. Según el TCL, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral supere a la verdadera en más de 0,5%? Use P(Z>2) y dé cuatro decimales.
P=aceptado: ± 0.0005
3Respuesta numérica15 ptsSin responder
Con un error estándar de 0,5%, ¿cuál es la semiamplitud del intervalo de confianza del 95 % para la media, en porcentaje? Use 1,96.
h=aceptado: ± 0.005
4Elección15 ptsSin responder
¿Qué par de condiciones exige el TCL clásico?
5Respuesta numérica10 ptsSin responder
25 rendimientos diarios independientes tienen cada uno desviación típica 1%. ¿Cuál es la desviación típica de su suma, en porcentaje?
σsum=aceptado: ± 0.005
6Elección15 ptsSin responder
Seleccione todas las situaciones en las que la aproximación normal del promedio muestral es mala.
7Explicar con palabras20 ptsSin responder
En dos frases, explique por qué los promedios de rendimientos de colas gruesas necesitan más observaciones antes de parecer normales.
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