Transformaciones y cambio de variable

Variables nuevas a partir de otras

Las finanzas transforman constantemente variables aleatorias: precios en rendimientos, rendimientos en log-rendimientos, una posición en su ganancia. Para un cambio lineal $Y=aX+b$ las reglas son exactas: $E[Y]=aE[X]+b$ y $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$, y una normal sigue siendo normal. Multiplicar un rendimiento por un apalancamiento $a$ multiplica su volatilidad por $|a|$ y su varianza por $a^2$; sumar una constante desplaza la media y deja intacta la dispersión.

Para una transformación no lineal $Y=g(X)$ no basta transformar la media. La densidad de $Y$ sigue la fórmula del cambio de variable: evaluar $f_X$ en la inversa y multiplicar por el factor de estiramiento $|dx/dy|$. Si $X$ es normal, $Y=e^{X}$ es lognormal con densidad $f_X(\ln y)/y$. La desigualdad de Jensen dice que para $g$ convexa, $E[g(X)]\geq g(E[X])$: por ejemplo $E[e^{X}]>e^{E[X]}$ y $E[1/X]>1/E[X]$ para $X$ positiva no constante. Los promedios no conmutan con las funciones curvas.

• Lineal: $E[aX+b]=aE[X]+b$, $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Cambio de variable: $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$.
• Los log-rendimientos se suman en el tiempo; Jensen: $E[g(X)]\geq g(E[X])$ para $g$ convexa.

Lab: qué se califica

• Un cambio lineal: la media10 pts
• Un cambio lineal: la varianza10 pts
• Componer log-rendimientos15 pts
• La brecha de Jensen15 pts
• Jensen con un recíproco15 pts
• La densidad lognormal15 pts
• Por qué log-rendimientos20 pts