Transformationen und Variablenwechsel

Neue Variablen aus alten

Die Finanzwelt transformiert ständig Zufallsvariablen: Preise in Renditen, Renditen in Log-Renditen, eine Position in ihren Gewinn. Für eine lineare Änderung $Y=aX+b$ gelten exakte Regeln: $E[Y]=aE[X]+b$ und $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$, und eine Normalverteilung bleibt normal. Eine Rendite mit dem Hebel $a$ zu skalieren, skaliert ihre Volatilität mit $|a|$ und ihre Varianz mit $a^2$; eine Konstante zu addieren verschiebt den Mittelwert und lässt die Streuung unberührt.

Bei einer nichtlinearen Transformation $Y=g(X)$ genügt es nicht, den Mittelwert zu transformieren. Die Dichte von $Y$ folgt der Transformationsformel: $f_X$ an der Umkehrfunktion auswerten und mit dem Streckfaktor $|dx/dy|$ multiplizieren. Ist $X$ normal, so ist $Y=e^{X}$ lognormal mit der Dichte $f_X(\ln y)/y$. Die Jensensche Ungleichung besagt für konvexes $g$: $E[g(X)]\geq g(E[X])$, etwa $E[e^{X}]>e^{E[X]}$ und $E[1/X]>1/E[X]$ für positives, nicht konstantes $X$. Mittelwerte vertauschen nicht mit gekrümmten Funktionen.

• Linear: $E[aX+b]=aE[X]+b$, $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Variablenwechsel: $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$.
• Log-Renditen addieren sich über die Zeit; Jensen: $E[g(X)]\geq g(E[X])$ für konvexes $g$.