Transformations et changement de variable

De nouvelles variables à partir d'anciennes

La finance transforme sans cesse des variables aléatoires : des prix en rendements, des rendements en log-rendements, une position en son gain. Pour un changement linéaire $Y=aX+b$, les règles sont exactes : $E[Y]=aE[X]+b$ et $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$, et une normale reste normale. Multiplier un rendement par un levier $a$ multiplie sa volatilité par $|a|$ et sa variance par $a^2$ ; ajouter une constante décale la moyenne sans toucher à la dispersion.

Pour une transformation non linéaire $Y=g(X)$, on ne peut pas simplement transformer la moyenne. La densité de $Y$ suit la formule du changement de variable : évaluer $f_X$ à l'inverse et multiplier par le facteur d'étirement $|dx/dy|$. Si $X$ est normale, $Y=e^{X}$ est log-normale de densité $f_X(\ln y)/y$. L'inégalité de Jensen dit que pour $g$ convexe, $E[g(X)]\geq g(E[X])$ : par exemple $E[e^{X}]>e^{E[X]}$ et $E[1/X]>1/E[X]$ pour $X$ positive non constante. Les moyennes ne commutent pas avec les fonctions courbes.

• Linéaire : $E[aX+b]=aE[X]+b$, $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Changement de variable : $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$.
• Les log-rendements s'additionnent dans le temps ; Jensen : $E[g(X)]\geq g(E[X])$ pour $g$ convexe.

Lab : ce qui est noté

• Un changement linéaire : la moyenne10 pts
• Un changement linéaire : la variance10 pts
• Composer des log-rendements15 pts
• L'écart de Jensen15 pts
• Jensen avec un inverse15 pts
• La densité log-normale15 pts
• Pourquoi les log-rendements20 pts