变换与变量替换

由旧变量得到新变量

金融中不断在变换随机变量：价格变成收益率，收益率变成对数收益率，头寸变成损益。对线性变换 $Y=aX+b$，规则是精确的：$E[Y]=aE[X]+b$，$\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$，且正态分布仍是正态分布。把收益率乘以杠杆 $a$，波动率变为 $|a|$ 倍，方差变为 $a^2$ 倍；加上一个常数只平移均值，不改变离散程度。

对非线性变换 $Y=g(X)$，不能简单地对均值做变换。$Y$ 的密度遵循变量替换公式：在反函数处计算 $f_X$，再乘以拉伸因子 $|dx/dy|$。若 $X$ 为正态，则 $Y=e^{X}$ 是对数正态，密度为 $f_X(\ln y)/y$。詹森不等式说明，对凸函数 $g$ 有 $E[g(X)]\geq g(E[X])$：例如对为正且非常数的 $X$，$E[e^{X}]>e^{E[X]}$，$E[1/X]>1/E[X]$。平均和曲线函数不可交换。

• 线性：$E[aX+b]=aE[X]+b$，$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$。
• 变量替换：$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$。
• 对数收益率随时间相加；詹森：对凸函数 $g$，$E[g(X)]\geq g(E[X])$。

实验：评分内容

• 线性变换：均值10 分
• 线性变换：方差10 分
• 对数收益率复利15 分
• 詹森缺口15 分
• 倒数形式的詹森15 分
• 对数正态密度15 分
• 为什么用对数收益率20 分