Transformações e mudança de variável

Novas variáveis a partir de antigas

As finanças transformam constantemente variáveis aleatórias: preços em retornos, retornos em log-retornos, uma posição em seu ganho. Para uma mudança linear $Y=aX+b$ as regras são exatas: $E[Y]=aE[X]+b$ e $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$, e uma normal continua normal. Multiplicar um retorno por uma alavancagem $a$ multiplica sua volatilidade por $|a|$ e sua variância por $a^2$; somar uma constante desloca a média e deixa a dispersão intacta.

Para uma transformação não linear $Y=g(X)$ não basta transformar a média. A densidade de $Y$ segue a fórmula da mudança de variável: avaliar $f_X$ na inversa e multiplicar pelo fator de alongamento $|dx/dy|$. Se $X$ é normal, $Y=e^{X}$ é lognormal com densidade $f_X(\ln y)/y$. A desigualdade de Jensen diz que, para $g$ convexa, $E[g(X)]\geq g(E[X])$: por exemplo $E[e^{X}]>e^{E[X]}$ e $E[1/X]>1/E[X]$ para $X$ positiva não constante. Médias não comutam com funções curvas.

• Linear: $E[aX+b]=aE[X]+b$, $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Mudança de variável: $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$.
• Log-retornos se somam no tempo; Jensen: $E[g(X)]\geq g(E[X])$ para $g$ convexa.

Lab: o que é avaliado

• Uma mudança linear: a média10 pts
• Uma mudança linear: a variância10 pts
• Compor log-retornos15 pts
• A diferença de Jensen15 pts
• Jensen com um recíproco15 pts
• A densidade lognormal15 pts
• Por que log-retornos20 pts