変換と変数変換

既存の変数から新しい変数を作る

金融では、価格をリターンに、リターンを対数リターンに、ポジションをその損益にと、確率変数を絶えず変換します。線形変換 $Y=aX+b$ では規則は厳密で、$E[Y]=aE[X]+b$、$\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$ となり、正規分布は正規分布のままです。リターンにレバレッジ $a$ を掛けるとボラティリティは $|a|$ 倍、分散は $a^2$ 倍になり、定数を足すと平均がずれるだけでばらつきは変わりません。

非線形な変換 $Y=g(X)$ では、平均をそのまま変換することはできません。$Y$ の密度は変数変換の公式に従い、$f_X$ を逆関数で評価して伸び率 $|dx/dy|$ を掛けます。$X$ が正規分布なら $Y=e^{X}$ は対数正規分布で、密度は $f_X(\ln y)/y$ です。イェンセンの不等式は、凸関数 $g$ について $E[g(X)]\geq g(E[X])$ と述べます。たとえば正で定数でない $X$ について $E[e^{X}]>e^{E[X]}$、$E[1/X]>1/E[X]$ です。平均は曲がった関数とは交換できません。

• 線形：$E[aX+b]=aE[X]+b$、$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$。
• 変数変換：$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$。
• 対数リターンは時間で足し算。イェンセン：凸関数 $g$ で $E[g(X)]\geq g(E[X])$。

ラボ：採点される内容

• 線形変換：平均10点
• 線形変換：分散10点
• 対数リターンの複利計算15点
• イェンセンの差15点
• 逆数でのイェンセン15点
• 対数正規分布の密度15点
• なぜ対数リターンか20点