التحويلات وتغيير المتغيرات

متغيرات جديدة من قديمة

تحوّل المالية المتغيرات العشوائية باستمرار: الأسعار إلى عوائد والعوائد إلى عوائد لوغاريتمية والمركز إلى ربحه. وللتغيير الخطي $Y=aX+b$ القواعد دقيقة: $E[Y]=aE[X]+b$ و$\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$ ويبقى التوزيع الطبيعي طبيعيًا. وضرب عائد في رافعة $a$ يضرب تقلبه في $|a|$ وتباينه في $a^2$؛ وإضافة ثابت تزيح المتوسط وتترك التشتت كما هو.

في التحويل غير الخطي $Y=g(X)$ لا يكفي تحويل المتوسط. وتتبع كثافة $Y$ صيغة تغيير المتغير: قيّم $f_X$ عند المعكوس واضرب في عامل التمدد $|dx/dy|$. فإذا كان $X$ طبيعيًا كان $Y=e^{X}$ لوغاريتميًا طبيعيًا بكثافة $f_X(\ln y)/y$. وتقول متراجحة ينسن إنه لدالة محدبة $g$ يكون $E[g(X)]\geq g(E[X])$: مثلًا $E[e^{X}]>e^{E[X]}$ و$E[1/X]>1/E[X]$ لمتغير موجب غير ثابت. فالمتوسطات لا تتبادل مع الدوال المنحنية.

• الخطي: $E[aX+b]=aE[X]+b$ و$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• تغيير المتغير: $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\,|dx/dy|$.
• العوائد اللوغاريتمية تُجمع عبر الزمن؛ وينسن: $E[g(X)]\geq g(E[X])$ لدالة محدبة $g$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• تغيير خطي: المتوسط10 نقطة
• تغيير خطي: التباين10 نقطة
• تركيب العوائد اللوغاريتمية15 نقطة
• فجوة ينسن15 نقطة
• ينسن مع مقلوب15 نقطة
• كثافة اللوغاريتمي الطبيعي15 نقطة
• لماذا العوائد اللوغاريتمية20 نقطة