مبرهنة النهاية المركزية

لماذا تظهر منحنيات الجرس في كل مكان

يقول قانون الأعداد الكبيرة إن المتوسط يستقر قرب $\mu$ . وتقول مبرهنة النهاية المركزية كيف يبدو الخطأ المتبقي: لمشاهدات مستقلة متوسطها $\mu$ وتباينها المنتهي $\sigma^2$ يكون المتوسط المقيَّس $\dfrac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ تقريبًا توزيعًا طبيعيًا معياريًا عند $n$ كبير، أيًّا كان شكل التوزيع الأصلي. فمجاميع ومتوسطات تأثيرات صغيرة مستقلة كثيرة طبيعية حتى لو لم تكن مكوّناتها كذلك.

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

ولهذا يكون مجال الثقة 95٪ لمتوسط هو المتوسط العيّني زائد أو ناقص 1.96 خطأ معياريًا، ولهذا يمكن قراءة احتمال أن يبتعد متوسط عن توقعه من الجدول الطبيعي. ومجموع $n$ حدًّا مستقلًا لكل منها انحراف معياري $\sigma$ له انحراف معياري $\sigma\sqrt{n}$ : فيتحول التقلب اليومي إلى سنوي بالضرب في $\sqrt{252}$ ، وهي المبرهنة نفسها من جهة المجموع.

مجال ثقة واحتمالللعوائد اليومية

\sigma=3\%

. ولمتوسط

n=36

يومًا خطأ معياري

3\%/6=0.5\%

فمجال 95٪ للمتوسط الحقيقي هو المتوسط العيّني

\pm0.98\%

. أما إذا كان الخطأ المعياري

0.25\%

فاحتمال أن يتجاوز متوسط العينة المتوسط الحقيقي بمقدار

0.5\%

هو

P(Z>2)\approx0.0228

. وجمع 25 يومًا مستقلًا بتقلب 1٪ يعطي انحرافًا معياريًا

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

مبرهنة النهاية المركزية: متوسطات ومجاميع حدود مستقلة كثيرة ذات تباين منتهٍ تكون تقريبًا طبيعية.
مجال الثقة: المتوسط $\pm1.96\,\sigma/\sqrt{n}$ لنحو 95٪.
جذر الزمن: يتحول التقلب اليومي المستقل إلى $T$ يومًا بالضرب في $\sqrt{T}$ .

حين تقلّ فائدة المبرهنةالتقريب الطبيعي يخص وسط التوزيع ويتطلب الاستقلال والتباين المنتهي. ومع عوائد ثقيلة الذيول يأتي ببطء ولا يقول إلا القليل عن الأطراف؛ ومع تجمّع التقلب لا تكون المشاهدات مستقلة فتكون العينة الفعالة أصغر من

n

. تحقق من هذه الافتراضات قبل الوثوق بمجال 1.96 خطأ معياري.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

خطأ معياري10 نقطة
احتمال ذيل15 نقطة
مجال ثقة15 نقطة
ما تتطلبه المبرهنة15 نقطة
مجموع أيام10 نقطة
حين يكون التقريب ضعيفًا15 نقطة
الذيول السميكة تبطئ المبرهنة20 نقطة

لماذا تظهر منحنيات الجرس في كل مكان

\bar X_n\ \approx\ N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^{2}}{n}\right),\qquad \mu\in\bar X_n\pm1.96\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \ (95\%)

(1)

مجال ثقة واحتمالللعوائد اليومية

\sigma=3\%

. ولمتوسط

n=36

يومًا خطأ معياري

3\%/6=0.5\%

فمجال 95٪ للمتوسط الحقيقي هو المتوسط العيّني

\pm0.98\%

. أما إذا كان الخطأ المعياري

0.25\%

فاحتمال أن يتجاوز متوسط العينة المتوسط الحقيقي بمقدار

0.5\%

هو

P(Z>2)\approx0.0228

. وجمع 25 يومًا مستقلًا بتقلب 1٪ يعطي انحرافًا معياريًا

1\%\cdot\sqrt{25}=5\%

مبرهنة النهاية المركزية: متوسطات ومجاميع حدود مستقلة كثيرة ذات تباين منتهٍ تكون تقريبًا طبيعية.
مجال الثقة: المتوسط $\pm1.96\,\sigma/\sqrt{n}$ لنحو 95٪.
جذر الزمن: يتحول التقلب اليومي المستقل إلى $T$ يومًا بالضرب في $\sqrt{T}$ .

n

. تحقق من هذه الافتراضات قبل الوثوق بمجال 1.96 خطأ معياري.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

خطأ معياري10 نقطة
احتمال ذيل15 نقطة
مجال ثقة15 نقطة
ما تتطلبه المبرهنة15 نقطة
مجموع أيام10 نقطة
حين يكون التقريب ضعيفًا15 نقطة
الذيول السميكة تبطئ المبرهنة20 نقطة

مبرهنة النهاية المركزية

لماذا تظهر منحنيات الجرس في كل مكان

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

مبرهنة النهاية المركزية

لماذا تظهر منحنيات الجرس في كل مكان

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.