なぜ釣り鐘型がどこにでも現れるのか
大数の法則は平均が の近くに落ち着くと述べます。中心極限定理は、残る誤差がどんな形をしているかを述べます。平均 、有限の分散 を持つ独立な観測では、標準化した平均 は、元の分布の形によらず、 が大きいとき近似的に標準正規分布になります。小さな独立な効果の和や平均は、個々が正規でなくても正規になります。
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だから、平均の95%信頼区間は標本平均±1.96標準誤差になり、平均が期待値から大きく離れる確率は正規分布表から読めます。標準偏差 の独立な項 個の和の標準偏差は です。日次ボラティリティに を掛けて年率にするのは、同じ定理を和の側から見たものです。
信頼区間と確率日次リターンの とします。 日の平均の標準誤差は なので、真の平均の95%区間は標本平均 です。標準誤差が なら、標本平均が真の平均を 上回る確率は です。また、ボラティリティ1%の独立な25日分の和の標準偏差は です。
- 中心極限定理：有限分散の独立な多数の項の平均や和は近似的に正規。
- 信頼区間：平均 で約95%。
- 時間の平方根則：独立な日次ボラティリティは 日で 倍になる。
定理があまり役に立たないとき正規近似が扱うのは分布の中心部分で、独立性と有限の分散が必要です。裾の重いリターンでは近似が効くのが遅く、極端な値についてはほとんど何も言えません。ボラティリティのクラスタリングがあると観測は独立ではなく、実効的なサンプルは より小さくなります。1.96標準誤差の区間を信用する前に、これらの仮定を確かめてください。
ラボ：採点される内容
- 標準誤差10点
- テール確率15点
- 信頼区間15点
- 定理が必要とするもの15点
- 日数にわたる和10点
- 近似が悪いとき15点
- 裾の重さが定理を遅くする20点