大数の法則

平均は落ち着くが、ゆっくり

同じ平均 $\mu$ 、同じ分散 $\sigma^2$ を持つ独立な観測 $X_1,X_2,\dots$ の平均を $\bar X_n$ とします。大数の法則は、 $n$ が大きくなると $\bar X_n$ が $\mu$ に収束すると述べます。カジノが長期的に勝つ理由、モンテカルロ平均が真の期待値に収束する理由、平均リターンをより多くのデータで推定したほうがよい理由は、これです。

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

どれくらい速いのでしょうか。平均の期待値は同じ $\mu$ ですが分散は $\sigma^2/n$ なので、典型的な誤差である標準誤差は $\sigma/\sqrt{n}$ です。精度はサンプルサイズの平方根でしか上がりません。誤差を半分にするにはデータが4倍、精度をもう1桁上げるには100倍必要です。モンテカルロ・シミュレーションの誤差も同じ平方根の法則に従います。

10年で何が分かるかある株式の年率ボラティリティが

\sigma=20\%

とします。10年分の年次リターンから得られる平均の標準誤差は

20\%/\sqrt{10}\approx6.3\%

です。妥当な真の期待リターンは6〜8%程度なので、推定の不確実性は量そのものと同じ大きさで、10年では期待リターン7%の株と0%の株を自信をもって区別できません。平均を

\pm1\%

に絞るには

(20/1)^2=400

年が必要です。

大数の法則： $n$ が大きくなると標本平均は真の平均に収束する。
標準誤差： $\sigma/\sqrt{n}$ 。データが4倍で半分になる。
埋め合わせの法則ではない：過去の運は将来の運で補正されない。

ギャンブラーの誤謬5連敗した後でも、勝ちが「そろそろ来る」わけではありません。独立な試行に記憶はなく、大数の法則が働くのは、新しいデータが最初の連続を薄めるからで、連続が打ち消されるからではありません。最初の1000回の平均は後の試行に支配されますが、利益の合計は期待値から約

\sigma\sqrt{n}

ずつ、むしろ離れていくこともあります。

ラボ：採点される内容

標準誤差15点
必要なサンプルサイズ15点
法則が述べること15点
約束しないこと15点
モンテカルロの精度15点
10年分のデータ15点
10年では足りない理由10点

平均は落ち着くが、ゆっくり

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

10年で何が分かるかある株式の年率ボラティリティが

\sigma=20\%

とします。10年分の年次リターンから得られる平均の標準誤差は

20\%/\sqrt{10}\approx6.3\%

\pm1\%

に絞るには

(20/1)^2=400

年が必要です。

大数の法則： $n$ が大きくなると標本平均は真の平均に収束する。
標準誤差： $\sigma/\sqrt{n}$ 。データが4倍で半分になる。
埋め合わせの法則ではない：過去の運は将来の運で補正されない。

\sigma\sqrt{n}

ずつ、むしろ離れていくこともあります。

ラボ：採点される内容

標準誤差15点
必要なサンプルサイズ15点
法則が述べること15点
約束しないこと15点
モンテカルロの精度15点
10年分のデータ15点
10年では足りない理由10点

平均は落ち着くが、ゆっくり

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