Position dans le parcoursModule 3 sur 5 · Sujet 1 sur 3
3.1 Loi des grands nombres
—Score du lab— / 100XP total—Série—
Les moyennes se stabilisent, lentement
Prenons des observations indépendantes X1,X2,… de même moyenne μ et de même variance σ2, et soit Xˉn leur moyenne empirique. La loi des grands nombres dit que Xˉn converge vers μ quand n grandit. C'est pourquoi un casino gagne à long terme, pourquoi une moyenne Monte Carlo converge vers la vraie espérance et pourquoi estimer un rendement moyen avec plus de données est préférable.
E[Xˉn]=μ,Var(Xˉn)=nσ2,SE=nσ(1)
À quelle vitesse ? La moyenne a la même espérance μ mais une variance de σ2/n, donc son erreur typique, l'erreur type, vaut σ/n. La précision ne s'améliore que comme la racine carrée de la taille de l'échantillon : pour diviser l'erreur par deux il faut quatre fois plus de données, et pour gagner un chiffre de plus il en faut cent fois plus. La même loi en racine carrée gouverne l'erreur des simulations Monte Carlo.
Que peuvent nous dire dix ans ?Une action a une volatilité annuelle σ=20%. Dix ans de rendements annuels donnent une erreur type de la moyenne de 20%/10≈6,3%. Un vrai rendement espéré plausible est de 6 à 8 %, donc l'incertitude de l'estimation est aussi grande que la grandeur elle-même : dix ans ne permettent pas de distinguer avec confiance une action à 7 % d'une action à 0 %. Pour fixer la moyenne à ±1%, il faudrait (20/1)2=400 ans.
LGN : la moyenne empirique converge vers la vraie moyenne quand n grandit.
Erreur type : σ/n ; quatre fois plus de données la divise par deux.
Pas une loi de compensation : la chance passée n'est pas corrigée par la chance future.
Le sophisme du joueurAprès cinq transactions perdantes d'affilée, un gain n'est pas « attendu ». Les essais indépendants n'ont pas de mémoire : la loi des grands nombres marche parce que les nouvelles données noient la série initiale, pas parce que la série est annulée. La moyenne des 1000 premiers essais est dominée par les suivants, mais le gain total peut s'éloigner de plus en plus de sa valeur espérée, d'environ σn.
Lab : ce qui est noté
Une erreur type15 pts
La taille d'échantillon nécessaire15 pts
Ce que dit la loi15 pts
Ce qu'elle ne promet pas15 pts
Précision de Monte Carlo15 pts
Dix ans de données15 pts
Pourquoi dix ans ne suffisent pas10 pts
0/ 7 traités
1Réponse numérique15 ptsSans réponse
Les rendements quotidiens ont σ=2%. Quelle est l'erreur type de la moyenne de n=100 jours, en pourcentage ?
SE=accepté : ± 0.005
2Réponse numérique15 ptsSans réponse
Avec σ=2% par jour, combien de jours n faut-il pour que l'erreur type de la moyenne soit de 0,05% ?
n=accepté : ± 0.1%
3Choix15 ptsSans réponse
Quel énoncé est la loi des grands nombres ?
4Choix15 ptsSans réponse
Sélectionnez toutes les affirmations FAUSSES.
5Réponse numérique15 ptsSans réponse
Une estimation Monte Carlo a une erreur de 0,5 avec 10 000 trajectoires. Par quel facteur l'erreur diminue-t-elle avec 1 000 000 de trajectoires ?
k=accepté : ± 0.001
6Réponse numérique15 ptsSans réponse
Une action a une volatilité annuelle de 20 %. Quelle est l'erreur type de son rendement annuel moyen estimé sur 10 ans, en pourcentage ? Donnez-la à une décimale.
SE=accepté : ± 0.1
7Expliquer avec des mots10 ptsSans réponse
En deux phrases, dites pourquoi dix ans de rendements ne permettent pas de fixer le rendement espéré d'une action.
Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 7 · Ctrl ⏎ pour vérifier
