Un petit zoo de lois
La loi normale N(μ,σ2) est la courbe en cloche décrite par sa moyenne et sa variance. Environ 68 % de la probabilité se situe à moins d'un σ de la moyenne, 95 % à moins de 1,96 σ et 99,7 % à moins de trois. La standardisation, Z=(X−μ)/σ, ramène toute loi normale à N(0,1), dont la fonction de répartition Φ est tabulée. Les rendements quotidiens sont souvent modélisés par une normale, première approximation utile mais imparfaite.
lnS∼N(m,s2) ⇒ E[S]=em+s2/2,P(N=k)=k!λke−λ(1) Un prix ne peut être négatif : on modélise donc son logarithme par une normale et le prix lui-même est log-normal, asymétrique à droite, avec une moyenne em+s2/2 supérieure à la médiane em. Une variable de Poisson compte des événements dans un intervalle fixe quand ils arrivent indépendamment à un taux moyen constant λ : des transactions par minute, des défauts par an. La loi de Student t ressemble à une normale aux queues plus épaisses ; ses degrés de liberté ν règlent cette épaisseur : un petit ν donne bien plus de valeurs extrêmes et ν→∞ redonne la normale.
Valeurs de queue et moyenne log-normaleUn rendement quotidien suit
N(0,05 %, 1,2 %2). Sa valeur à risque à 95 % sur un jour est la perte dépassée seulement 5 % du temps :
1,645⋅1,2 %−0,05 %=1,924 %. Pour un log-prix
N(0,05, 0,22) partant de 1, le prix espéré est
e0,05+0,02≈1,0725, au-dessus de la médiane
e0,05≈1,0513. Avec
λ=3 transactions par minute, la probabilité d'une minute calme sans aucune est
e−3≈0,0498.
- Normale : symétrique ; utilisez les scores z. Bonne pour les sommes, approximative pour un rendement isolé.
- Log-normale : positive et asymétrique à droite, pour les prix. Poisson : dénombrement d'événements indépendants.
- Student-t : queues épaisses ; ajuste bien mieux les rendements que la normale dans les extrêmes.
Pourquoi « une fois tous les 10 000 ans » arrive sans cesseUn mouvement quotidien de cinq écarts types a une probabilité d'environ 3×10−7 sous un modèle normal, soit une fois en 13 000 ans de jours de bourse environ. Les marchés actions réels ont produit plusieurs de ces jours en quelques décennies. La courbe normale guide mal sur les jours extrêmes, c'est pourquoi les modèles de risque emploient des lois à queues plus épaisses comme la loi de Student. Lab : ce qui est noté
- Choisir la loi20 pts
- Une probabilité normale10 pts
- Une valeur à risque15 pts
- Une probabilité de Poisson15 pts
- Une moyenne log-normale15 pts
- Pourquoi la loi de Student15 pts
- Modèles normaux et krachs10 pts
