Distribuições comuns

Um pequeno zoológico de distribuições

A distribuição normal $N(\mu,\sigma^2)$ é o sino descrito por sua média e variância. Cerca de 68% da probabilidade fica a menos de um $\sigma$ da média, 95% a menos de 1,96 $\sigma$ e 99,7% a menos de três. Padronizar, $Z=(X-\mu)/\sigma$ , transforma qualquer normal em $N(0,1)$ , cuja função de distribuição $\Phi$ é tabelada. Os retornos diários costumam ser modelados como normais, uma primeira aproximação útil, mas imperfeita.

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

Um preço não pode ficar abaixo de zero, então seu logaritmo é modelado como normal e o preço é lognormal: assimétrico à direita, com média $e^{m+s^2/2}$ maior que a mediana $e^{m}$ . Uma variável de Poisson conta eventos num intervalo fixo quando chegam de forma independente a uma taxa média constante $\lambda$ : negociações por minuto, inadimplências por ano. A t de Student parece uma normal de caudas mais pesadas; seus graus de liberdade $\nu$ controlam o peso: um $\nu$ pequeno dá muito mais valores extremos e $\nu\to\infty$ recupera a normal.

Números de cauda e uma média lognormalUm retorno diário é

N(0{,}05\%,\ 1{,}2\%^2)

. Seu valor em risco de 95% em um dia é a perda excedida apenas 5% das vezes:

1{,}645\cdot1{,}2\%-0{,}05\%=1{,}924\%

. Para um log-preço

N(0{,}05,\ 0{,}2^2)

partindo de 1, o preço esperado é

e^{0{,}05+0{,}02}\approx1{,}0725

, acima da mediana

e^{0{,}05}\approx1{,}0513

. Com

\lambda=3

negociações por minuto, a probabilidade de um minuto tranquilo sem nenhuma é

e^{-3}\approx0{,}0498

Normal: simétrica; use escores $z$ . Boa para somas, aproximada para um retorno isolado.
Lognormal: positiva e assimétrica à direita, para preços. Poisson: contagem de eventos independentes.
t de Student: caudas pesadas; ajusta os retornos muito melhor que a normal nos extremos.

Por que «uma vez a cada 10 000 anos» continua acontecendoUm movimento diário de cinco desvios-padrão tem probabilidade de cerca de

3\times10^{-7}

sob um modelo normal, uma vez em cerca de 13 000 anos de dias de negociação. Os mercados de ações reais produziram vários desses dias em poucas décadas. A curva normal é um mau guia para dias extremos, por isso os modelos de risco usam distribuições de caudas mais pesadas como a t de Student.

Lab: o que é avaliado

Escolher a distribuição20 pts
Uma probabilidade normal10 pts
Um valor em risco15 pts
Uma probabilidade de Poisson15 pts
Uma média lognormal15 pts
Por que a t de Student15 pts
Modelos normais e colapsos10 pts

Um pequeno zoológico de distribuições

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

Números de cauda e uma média lognormalUm retorno diário é

N(0{,}05\%,\ 1{,}2\%^2)

. Seu valor em risco de 95% em um dia é a perda excedida apenas 5% das vezes:

1{,}645\cdot1{,}2\%-0{,}05\%=1{,}924\%

. Para um log-preço

N(0{,}05,\ 0{,}2^2)

partindo de 1, o preço esperado é

e^{0{,}05+0{,}02}\approx1{,}0725

, acima da mediana

e^{0{,}05}\approx1{,}0513

. Com

\lambda=3

negociações por minuto, a probabilidade de um minuto tranquilo sem nenhuma é

e^{-3}\approx0{,}0498

Normal: simétrica; use escores $z$ . Boa para somas, aproximada para um retorno isolado.
Lognormal: positiva e assimétrica à direita, para preços. Poisson: contagem de eventos independentes.
t de Student: caudas pesadas; ajusta os retornos muito melhor que a normal nos extremos.

Por que «uma vez a cada 10 000 anos» continua acontecendoUm movimento diário de cinco desvios-padrão tem probabilidade de cerca de

3\times10^{-7}

Lab: o que é avaliado

Escolher a distribuição20 pts
Uma probabilidade normal10 pts
Um valor em risco15 pts
Uma probabilidade de Poisson15 pts
Uma média lognormal15 pts
Por que a t de Student15 pts
Modelos normais e colapsos10 pts

Um pequeno zoológico de distribuições

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.

Distribuições comuns

Um pequeno zoológico de distribuições

Lab: o que é avaliado

Entre para executar o seu código.