Esperança e covariância

Média, dispersão e co-movimento

A esperança de uma variável aleatória é sua média ponderada pelas probabilidades, $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$ . É linear: $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$ , sempre, sejam ou não $X$ e $Y$ independentes. A variância mede a dispersão em torno da média, $\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$ , e o desvio-padrão $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ tem as mesmas unidades que $X$ .

\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],\qquad \rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}

(1)

A covariância mede o co-movimento: positiva quando $X$ e $Y$ tendem a estar acima de suas médias juntos. A correlação $\rho$ a reescala entre $-1$ e $1$ . As variâncias só se somam quando a covariância é zero: em geral $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$ . Para uma carteira com pesos $w_i$ é a forma quadrática $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$ .

Um retorno discreto e uma carteira de dois ativosUm retorno (em porcentagem) é

-2

1

4

com probabilidades

0{,}2

0{,}5

0{,}3

. Então

E[X]=-0{,}4+0{,}5+1{,}2=1{,}3

E[X^2]=0{,}8+0{,}5+4{,}8=6{,}1

\operatorname{Var}(X)=6{,}1-1{,}3^2=4{,}41

, logo

\sigma=2{,}1

. Divida agora 50/50 entre dois ativos com

\sigma_1=0{,}2

\sigma_2=0{,}3

\rho=0{,}5

\operatorname{Var}=0{,}25(0{,}04)+0{,}25(0{,}09)+2(0{,}25)(0{,}5)(0{,}2)(0{,}3)=0{,}0475

, então

\sigma_p\approx0{,}218

, abaixo da média de 0,25.

A esperança é linear, com ou sem independência.
Variância: $E[X^2]-E[X]^2$ ; $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$ .
Covariância e correlação medem o co-movimento; $\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$ .

Correlação zero não é independênciaVariáveis independentes têm covariância zero, mas não o contrário. Se

X

é simétrica em torno de 0 e

Y=X^2

, então

\operatorname{Cov}(X,Y)=0

embora

Y

seja totalmente determinada por

X

. A correlação só vê o co-movimento linear; um mercado calmo até colapsar pode ter baixa correlação e forte dependência nas caudas.

Lab: o que é avaliado

O retorno esperado15 pts
A variância15 pts
Uma covariância10 pts
A variância de uma carteira20 pts
Quais regras são verdadeiras15 pts
Uma correlação10 pts
Por que a diversificação funciona15 pts

Média, dispersão e co-movimento

\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],\qquad \rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}

(1)

Um retorno discreto e uma carteira de dois ativosUm retorno (em porcentagem) é

-2

1

4

com probabilidades

0{,}2

0{,}5

0{,}3

. Então

E[X]=-0{,}4+0{,}5+1{,}2=1{,}3

E[X^2]=0{,}8+0{,}5+4{,}8=6{,}1

\operatorname{Var}(X)=6{,}1-1{,}3^2=4{,}41

, logo

\sigma=2{,}1

. Divida agora 50/50 entre dois ativos com

\sigma_1=0{,}2

\sigma_2=0{,}3

\rho=0{,}5

\operatorname{Var}=0{,}25(0{,}04)+0{,}25(0{,}09)+2(0{,}25)(0{,}5)(0{,}2)(0{,}3)=0{,}0475

, então

\sigma_p\approx0{,}218

, abaixo da média de 0,25.

A esperança é linear, com ou sem independência.
Variância: $E[X^2]-E[X]^2$ ; $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$ .
Covariância e correlação medem o co-movimento; $\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$ .

Correlação zero não é independênciaVariáveis independentes têm covariância zero, mas não o contrário. Se

X

é simétrica em torno de 0 e

Y=X^2

, então

\operatorname{Cov}(X,Y)=0

embora

Y

seja totalmente determinada por

X

. A correlação só vê o co-movimento linear; um mercado calmo até colapsar pode ter baixa correlação e forte dependência nas caudas.

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A variância15 pts
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