Erwartungswert und Kovarianz

Mittelwert, Streuung und Gleichlauf

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ihr mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert, $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$. Er ist linear: $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$, immer, ob $X$ und $Y$ unabhängig sind oder nicht. Die Varianz misst die Streuung um den Mittelwert, $\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$, und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ hat dieselbe Einheit wie $X$.

Die Kovarianz misst den Gleichlauf: positiv, wenn $X$ und $Y$ tendenziell zugleich über ihren Mittelwerten liegen. Die Korrelation $\rho$ skaliert sie auf den Bereich von $-1$ bis $1$. Varianzen addieren sich nur bei Kovarianz null: Allgemein gilt $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$. Für ein Portfolio mit Gewichten $w_i$ ist das die quadratische Form $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$.

• Der Erwartungswert ist linear, mit oder ohne Unabhängigkeit.
• Varianz: $E[X^2]-E[X]^2$; $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Kovarianz und Korrelation messen den Gleichlauf; $\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$.

Lab: Was bewertet wird

• Die erwartete Rendite15 Pkt.
• Die Varianz15 Pkt.
• Eine Kovarianz10 Pkt.
• Die Varianz eines Portfolios20 Pkt.
• Welche Regeln stimmen15 Pkt.
• Eine Korrelation10 Pkt.
• Warum Diversifikation wirkt15 Pkt.