Espérance et covariance

Moyenne, dispersion et co-mouvement

L'espérance d'une variable aléatoire est sa moyenne pondérée par les probabilités, $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$. Elle est linéaire : $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$, toujours, que $X$ et $Y$ soient indépendantes ou non. La variance mesure la dispersion autour de la moyenne, $\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$, et l'écart type $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ a les mêmes unités que $X$.

La covariance mesure le co-mouvement : positive quand $X$ et $Y$ tendent à être au-dessus de leurs moyennes ensemble. La corrélation $\rho$ la remet à l'échelle entre $-1$ et $1$. Les variances ne s'additionnent que si la covariance est nulle : en général $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$. Pour un portefeuille de poids $w_i$, c'est la forme quadratique $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$.

• L'espérance est linéaire, avec ou sans indépendance.
• Variance : $E[X^2]-E[X]^2$ ; $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Covariance et corrélation mesurent le co-mouvement ; $\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$.

Lab : ce qui est noté

• Le rendement espéré15 pts
• La variance15 pts
• Une covariance10 pts
• La variance d'un portefeuille20 pts
• Quelles règles sont vraies15 pts
• Une corrélation10 pts
• Pourquoi la diversification fonctionne15 pts