Esperanza y covarianza

Promedio, dispersión y comovimiento

La esperanza de una variable aleatoria es su promedio ponderado por las probabilidades, $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$. Es lineal: $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$, siempre, sean o no independientes $X$ e $Y$. La varianza mide la dispersión alrededor de la media, $\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$, y la desviación típica $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ tiene las mismas unidades que $X$.

La covarianza mide el comovimiento: positiva cuando $X$ e $Y$ tienden a estar por encima de sus medias a la vez. La correlación $\rho$ la reescala entre $-1$ y $1$. Las varianzas solo se suman cuando la covarianza es cero: en general $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$. Para una cartera con pesos $w_i$ es la forma cuadrática $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$.

• La esperanza es lineal, con o sin independencia.
• Varianza: $E[X^2]-E[X]^2$; $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• Covarianza y correlación miden el comovimiento; $\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$.

Lab: qué se califica

• El rendimiento esperado15 pts
• La varianza15 pts
• Una covarianza10 pts
• La varianza de una cartera20 pts
• Qué reglas son verdaderas15 pts
• Una correlación10 pts
• Por qué funciona la diversificación15 pts