Un pequeño zoo de distribuciones
La distribución normal N(μ,σ2) es la campana descrita por su media y su varianza. Alrededor del 68 % de la probabilidad queda a menos de un σ de la media, el 95 % a menos de 1,96 σ y el 99,7 % a menos de tres. Estandarizar, Z=(X−μ)/σ, convierte cualquier normal en N(0,1), cuya función de distribución Φ está tabulada. Los rendimientos diarios suelen modelarse como normales, una primera aproximación útil pero imperfecta.
lnS∼N(m,s2) ⇒ E[S]=em+s2/2,P(N=k)=k!λke−λ(1) Un precio no puede ser negativo, así que su logaritmo se modela como normal y el precio es lognormal: asimétrico a la derecha, con media em+s2/2 mayor que la mediana em. Una variable de Poisson cuenta sucesos en un intervalo fijo cuando llegan de forma independiente a una tasa media constante λ: operaciones por minuto, impagos por año. La t de Student se parece a una normal con colas más gruesas; sus grados de libertad ν controlan el grosor: un ν pequeño da muchos más valores extremos y ν→∞ recupera la normal.
Números de cola y una media lognormalUn rendimiento diario es
N(0,05 %, 1,2 %2). Su valor en riesgo a un día al 95 % es la pérdida superada solo el 5 % de las veces:
1,645⋅1,2 %−0,05 %=1,924 %. Para un logaritmo de precio
N(0,05, 0,22) que parte de 1, el precio esperado es
e0,05+0,02≈1,0725, por encima de la mediana
e0,05≈1,0513. Con
λ=3 operaciones por minuto, la probabilidad de un minuto tranquilo sin ninguna es
e−3≈0,0498.
- Normal: simétrica; use puntuaciones z. Buena para sumas, aproximada para un rendimiento aislado.
- Lognormal: positiva y asimétrica a la derecha, para precios. Poisson: conteo de sucesos independientes.
- t de Student: colas gruesas; ajusta los rendimientos mucho mejor que la normal en los extremos.
Por qué «una vez cada 10 000 años» sigue ocurriendoUn movimiento diario de cinco desviaciones típicas tiene probabilidad de unos 3×10−7 bajo un modelo normal, una vez en unos 13 000 años de días bursátiles. Los mercados de acciones reales han producido varios de esos días en pocas décadas. La curva normal es mala guía para los días extremos, por eso los modelos de riesgo usan distribuciones de colas más gruesas como la t de Student. Lab: qué se califica
- Elegir la distribución20 pts
- Una probabilidad normal10 pts
- Un valor en riesgo15 pts
- Una probabilidad de Poisson15 pts
- Una media lognormal15 pts
- Por qué la t de Student15 pts
- Modelos normales y desplomes10 pts
