常见分布

分布小动物园

正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 是由均值和方差决定的钟形曲线。约 68% 的概率落在均值的 1 个 $\sigma$ 内，95% 落在 1.96 个 $\sigma$ 内，99.7% 落在 3 个 $\sigma$ 内。标准化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ 把任何正态分布变成 $N(0,1)$ ，其分布函数 $\Phi$ 有现成的表可查。日收益率常被建模为正态分布，这是一个有用但不完美的初步近似。

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

价格不能低于零，所以对其取对数后建模为正态，价格本身服从对数正态分布：右偏，均值 $e^{m+s^2/2}$ 大于中位数 $e^{m}$ 。泊松变量用于计数：当事件以恒定的平均速率 $\lambda$ 独立到达时，统计固定区间内的发生次数，例如每分钟的成交笔数、每年的违约数。学生 $t$ 分布像是尾部更厚的正态分布；自由度 $\nu$ 控制厚度， $\nu$ 小时极端值多得多， $\nu\to\infty$ 时回到正态分布。

尾部数值与对数正态均值设日收益率服从

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

。95% 的一日风险价值是只有 5% 的时间会被超过的损失：

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

。对从 1 出发、对数价格服从

N(0.05,\ 0.2^2)

的价格，期望价格为

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

，高于中位数

e^{0.05}\approx1.0513

。若每分钟平均

\lambda=3

笔成交，一分钟内一笔都没有的概率是

e^{-3}\approx0.0498

。

正态：对称；使用 $z$ 分数。适合求和，对单个收益率较粗糙。
对数正态：为正且右偏，用于价格。泊松：独立事件的计数。
学生 $t$ ：厚尾；在极端值上比正态分布更贴合收益率。

为什么“万年一遇”总是发生在正态模型下，五个标准差的日度波动概率约为

3\times10^{-7}

，大约相当于一万三千年的交易日才出现一次。真实股市却在几十年内出现过好几次这样的日子。正态曲线对极端日子的指引很差，所以风险模型会使用学生

t

这类尾部更厚的分布。

实验：评分内容

选择分布20 分
正态概率10 分
风险价值15 分
泊松概率15 分
对数正态均值15 分
为什么用学生 t15 分
正态模型与暴跌10 分

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\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

尾部数值与对数正态均值设日收益率服从

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

。95% 的一日风险价值是只有 5% 的时间会被超过的损失：

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

。对从 1 出发、对数价格服从

N(0.05,\ 0.2^2)

的价格，期望价格为

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

，高于中位数

e^{0.05}\approx1.0513

。若每分钟平均

\lambda=3

笔成交，一分钟内一笔都没有的概率是

e^{-3}\approx0.0498

。

正态：对称；使用 $z$ 分数。适合求和，对单个收益率较粗糙。
对数正态：为正且右偏，用于价格。泊松：独立事件的计数。
学生 $t$ ：厚尾；在极端值上比正态分布更贴合收益率。

为什么“万年一遇”总是发生在正态模型下，五个标准差的日度波动概率约为

3\times10^{-7}

t

这类尾部更厚的分布。

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风险价值15 分
泊松概率15 分
对数正态均值15 分
为什么用学生 t15 分
正态模型与暴跌10 分

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