التوزيعات الشائعة

حديقة صغيرة من التوزيعات

التوزيع الطبيعي $N(\mu,\sigma^2)$ هو منحنى الجرس الذي يصفه متوسطه وتباينه. يقع نحو 68٪ من الاحتمال ضمن $\sigma$ واحد من المتوسط و95٪ ضمن 1.96 $\sigma$ و99.7٪ ضمن ثلاثة. والتقييس $Z=(X-\mu)/\sigma$ يحوّل أي توزيع طبيعي إلى $N(0,1)$ الذي تتوافر جداول دالة توزيعه $\Phi$ . وكثيرًا ما تُنمذج العوائد اليومية بتوزيع طبيعي، وهو تقريب أولي مفيد لكنه غير كامل.

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

لا يمكن أن يهبط السعر دون الصفر، فيُنمذج لوغاريتمه بتوزيع طبيعي ويكون السعر نفسه لوغاريتمي طبيعي: ملتويًا إلى اليمين ومتوسطه $e^{m+s^2/2}$ أكبر من وسيطه $e^{m}$ . ويعدّ متغير بواسون الأحداث في فترة ثابتة حين تصل باستقلال بمعدل متوسط ثابت $\lambda$ : صفقات في الدقيقة أو حالات تعثر في السنة. وتبدو t لستيودنت كتوزيع طبيعي بذيول أثقل؛ وتتحكم درجات حريتها $\nu$ في الثقل: $\nu$ الصغيرة تعطي قيمًا متطرفة أكثر بكثير و $\nu\to\infty$ تعيد التوزيع الطبيعي.

أرقام الذيل ومتوسط لوغاريتمي طبيعيعائد يومي يتبع

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

. وقيمته المعرّضة للخطر بمستوى 95٪ ليوم واحد هي الخسارة التي تُتجاوز في 5٪ فقط من الأوقات:

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

. ولوغاريتم سعر

N(0.05,\ 0.2^2)

يبدأ من 1 يكون السعر المتوقع

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

فوق الوسيط

e^{0.05}\approx1.0513

. ومع

\lambda=3

صفقات في الدقيقة يكون احتمال دقيقة هادئة بلا صفقات

e^{-3}\approx0.0498

الطبيعي: متماثل؛ استعمل درجات $z$ . جيد للمجاميع وتقريبي للعائد المفرد.
اللوغاريتمي الطبيعي: موجب وملتوٍ يمينًا للأسعار. بواسون: عدّ أحداث مستقلة.
ستيودنت- $t$ : ذيول ثقيلة؛ يلائم العوائد في الأطراف أفضل بكثير من الطبيعي.

لماذا يتكرر «مرة كل 10000 سنة»للحركة اليومية البالغة خمسة انحرافات معيارية احتمال نحو

3\times10^{-7}

في النموذج الطبيعي، أي مرة كل نحو 13000 سنة من أيام التداول. وقد أنتجت أسواق الأسهم الحقيقية عدة أيام كهذه في بضعة عقود. والمنحنى الطبيعي دليل رديء للأيام المتطرفة، ولهذا تستخدم نماذج المخاطر توزيعات ذات ذيول أثقل مثل ستيودنت.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

اختر التوزيع20 نقطة
احتمال طبيعي10 نقطة
قيمة معرّضة للخطر15 نقطة
احتمال بواسون15 نقطة
متوسط لوغاريتمي طبيعي15 نقطة
لماذا ستيودنت15 نقطة
النماذج الطبيعية والانهيارات10 نقطة

حديقة صغيرة من التوزيعات

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

أرقام الذيل ومتوسط لوغاريتمي طبيعيعائد يومي يتبع

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

. وقيمته المعرّضة للخطر بمستوى 95٪ ليوم واحد هي الخسارة التي تُتجاوز في 5٪ فقط من الأوقات:

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

. ولوغاريتم سعر

N(0.05,\ 0.2^2)

يبدأ من 1 يكون السعر المتوقع

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

فوق الوسيط

e^{0.05}\approx1.0513

. ومع

\lambda=3

صفقات في الدقيقة يكون احتمال دقيقة هادئة بلا صفقات

e^{-3}\approx0.0498

الطبيعي: متماثل؛ استعمل درجات $z$ . جيد للمجاميع وتقريبي للعائد المفرد.
اللوغاريتمي الطبيعي: موجب وملتوٍ يمينًا للأسعار. بواسون: عدّ أحداث مستقلة.
ستيودنت- $t$ : ذيول ثقيلة؛ يلائم العوائد في الأطراف أفضل بكثير من الطبيعي.

لماذا يتكرر «مرة كل 10000 سنة»للحركة اليومية البالغة خمسة انحرافات معيارية احتمال نحو

3\times10^{-7}

المختبر: ما الذي يُقيَّم

اختر التوزيع20 نقطة
احتمال طبيعي10 نقطة
قيمة معرّضة للخطر15 نقطة
احتمال بواسون15 نقطة
متوسط لوغاريتمي طبيعي15 نقطة
لماذا ستيودنت15 نقطة
النماذج الطبيعية والانهيارات10 نقطة

التوزيعات الشائعة

حديقة صغيرة من التوزيعات

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

التوزيعات الشائعة

حديقة صغيرة من التوزيعات

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.