Gängige Verteilungen

Ein kleiner Zoo von Verteilungen

Die Normalverteilung $N(\mu,\sigma^2)$ ist die Glockenkurve, beschrieben durch Mittelwert und Varianz. Rund 68 % der Wahrscheinlichkeit liegen innerhalb von einem $\sigma$ um den Mittelwert, 95 % innerhalb von 1,96 $\sigma$ und 99,7 % innerhalb von drei. Die Standardisierung $Z=(X-\mu)/\sigma$ macht jede Normalverteilung zu $N(0,1)$, deren Verteilungsfunktion $\Phi$ tabelliert ist. Tagesrenditen werden oft als normal modelliert, eine nützliche, aber unvollkommene erste Näherung.

Ein Preis kann nicht unter null fallen, daher modelliert man seinen Logarithmus als normal und der Preis selbst ist lognormal: rechtsschief, mit Mittelwert $e^{m+s^2/2}$ größer als der Median $e^{m}$. Eine Poisson-Variable zählt Ereignisse in einem festen Intervall, wenn sie unabhängig mit konstanter mittlerer Rate $\lambda$ eintreffen: Trades pro Minute, Ausfälle pro Jahr. Die Student-$t$-Verteilung gleicht einer Normalverteilung mit schwereren Rändern; ihre Freiheitsgrade $\nu$ steuern die Schwere, kleines $\nu$ liefert weit mehr Extremwerte und $\nu\to\infty$ ergibt wieder die Normalverteilung.

• Normal: symmetrisch; nutzen Sie $z$-Werte. Gut für Summen, grob für einzelne Renditen.
• Lognormal: positiv und rechtsschief, für Preise. Poisson: Zählung unabhängiger Ereignisse.
• Student-$t$: schwere Ränder; passt zu Renditen in den Extremen weit besser als die Normalverteilung.

Lab: Was bewertet wird

• Die Verteilung wählen20 Pkt.
• Eine Normalwahrscheinlichkeit10 Pkt.
• Ein Value-at-Risk15 Pkt.
• Eine Poisson-Wahrscheinlichkeit15 Pkt.
• Ein lognormaler Mittelwert15 Pkt.
• Warum die Student-t15 Pkt.
• Normalmodelle und Crashs10 Pkt.