代表的な分布

分布の動物園

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ は平均と分散で決まる釣り鐘型の分布です。確率のおよそ68%が平均から1 $\sigma$ 以内、95%が1.96 $\sigma$ 以内、99.7%が3 $\sigma$ 以内にあります。標準化 $Z=(X-\mu)/\sigma$ で任意の正規分布を $N(0,1)$ に直せ、その分布関数 $\Phi$ は表になっています。日次リターンはよく正規分布でモデル化されますが、これは有用でも不完全な最初の近似です。

\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

価格は負にならないので、その対数を正規分布でモデル化し、価格自体は対数正規分布になります。右に歪み、平均 $e^{m+s^2/2}$ は中央値 $e^{m}$ より大きくなります。ポアソン変数は、事象が一定の平均率 $\lambda$ で独立に到着するとき、一定区間内の件数を数えます。1分間の約定数や1年間のデフォルト数などです。スチューデントの $t$ 分布は裾の重い正規分布のようなもので、自由度 $\nu$ が裾の重さを決めます。 $\nu$ が小さいと極端な値がはるかに増え、 $\nu\to\infty$ で正規分布に戻ります。

テールの数値と対数正規の平均日次リターンが

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

に従うとします。95%の1日バリュー・アット・リスクは、5%の確率でしか超えない損失で、

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

です。1から始まる対数価格が

N(0.05,\ 0.2^2)

なら、期待価格は

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

で、中央値

e^{0.05}\approx1.0513

より大きくなります。1分間に平均

\lambda=3

件の約定があるとき、1件もない静かな1分の確率は

e^{-3}\approx0.0498

です。

正規：対称。 $z$ スコアを使う。和には適し、1回のリターンには粗い。
対数正規：正で右に歪む。価格用。ポアソン：独立な事象の件数。
スチューデント $t$ ：裾が重い。極端な値では正規分布よりリターンによく合う。

なぜ「1万年に1度」が何度も起こるのか5標準偏差の日次変動は、正規モデルでは確率が約

3\times10^{-7}

で、取引日にして約1万3千年に1度です。ところが実際の株式市場では、数十年のうちにそのような日が何度も起きています。正規分布は極端な日の指針として不十分なので、リスクモデルではスチューデントの

t

分布のような裾の重い分布を使います。

ラボ：採点される内容

分布を選ぶ20点
正規分布の確率10点
バリュー・アット・リスク15点
ポアソン確率15点
対数正規の平均15点
なぜスチューデントtか15点
正規モデルと暴落10点

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\ln S\sim N(m,s^{2})\ \Rightarrow\ E[S]=e^{m+s^{2}/2},\qquad P(N=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}

(1)

テールの数値と対数正規の平均日次リターンが

N(0.05\%,\ 1.2\%^2)

に従うとします。95%の1日バリュー・アット・リスクは、5%の確率でしか超えない損失で、

1.645\cdot1.2\%-0.05\%=1.924\%

です。1から始まる対数価格が

N(0.05,\ 0.2^2)

なら、期待価格は

e^{0.05+0.02}\approx1.0725

で、中央値

e^{0.05}\approx1.0513

より大きくなります。1分間に平均

\lambda=3

件の約定があるとき、1件もない静かな1分の確率は

e^{-3}\approx0.0498

です。

正規：対称。 $z$ スコアを使う。和には適し、1回のリターンには粗い。
対数正規：正で右に歪む。価格用。ポアソン：独立な事象の件数。
スチューデント $t$ ：裾が重い。極端な値では正規分布よりリターンによく合う。

なぜ「1万年に1度」が何度も起こるのか5標準偏差の日次変動は、正規モデルでは確率が約

3\times10^{-7}

t

分布のような裾の重い分布を使います。

ラボ：採点される内容

分布を選ぶ20点
正規分布の確率10点
バリュー・アット・リスク15点
ポアソン確率15点
対数正規の平均15点
なぜスチューデントtか15点
正規モデルと暴落10点

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