期待値と共分散

平均・ばらつき・連動

確率変数の期待値は確率で重み付けした平均 $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$ です。線形性 $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$ は、$X$ と $Y$ が独立かどうかにかかわらず常に成り立ちます。分散は平均まわりのばらつきを測り、$\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$、標準偏差 $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ は $X$ と同じ単位を持ちます。

共分散は連動を測り、$X$ と $Y$ がともに平均より大きくなりがちなら正です。相関 $\rho$ はそれを $-1$ から $1$ の範囲に直したものです。分散が足し算になるのは共分散が0のときだけで、一般には $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$ です。ウェイト $w_i$ のポートフォリオでは、これが2次形式 $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$ になります。

• 期待値は独立性の有無にかかわらず線形。
• 分散：$E[X^2]-E[X]^2$。$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$。
• 共分散と相関は連動を測る。$\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$。

ラボ：採点される内容

• 期待リターン15点
• 分散15点
• 共分散10点
• ポートフォリオの分散20点
• 正しい規則はどれか15点
• 相関10点
• 分散投資が効く理由15点