التوقع والتغاير

المتوسط والتشتت والتحرك المشترك

توقّع المتغير العشوائي هو متوسطه الموزون بالاحتمالات $E[X]=\sum_i x_i\,p_i$. وهو خطي: $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$ دائمًا سواء كان $X$ و$Y$ مستقلين أم لا. ويقيس التباين التشتت حول المتوسط $\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2$، وللانحراف المعياري $\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$ وحدات $X$ نفسها.

يقيس التغاير التحرك المشترك: موجب حين يميل $X$ و$Y$ إلى أن يكونا فوق متوسطيهما معًا. ويعيد الارتباط $\rho$ قياسه ليقع بين $-1$ و$1$. ولا تُجمع التباينات إلا حين يكون التغاير صفرًا: عمومًا $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$. ولمحفظة أوزانها $w_i$ هذه هي الصيغة التربيعية $\operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w}$.

• التوقع خطي بوجود الاستقلال أو بدونه.
• التباين: $E[X^2]-E[X]^2$؛ و$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$.
• التغاير والارتباط يقيسان التحرك المشترك؛ و$\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• العائد المتوقع15 نقطة
• التباين15 نقطة
• تغاير10 نقطة
• تباين محفظة20 نقطة
• أيّ القواعد صحيحة15 نقطة
• ارتباط10 نقطة
• لماذا ينجح التنويع15 نقطة