均值、离散与联动 随机变量的期望是以概率为权的平均值，E [ X ] = ∑ i x i p i E[X]=\sum_i x_i\,p_i E [ X ] = ∑ i x i p i E [ a X + b Y + c ] = a E [ X ] + b E [ Y ] + c E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c E [ a X + bY + c ] = a E [ X ] + b E [ Y ] + c X X X Y Y Y Var ( X ) = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 \operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^2\big]=E[X^2]-E[X]^2 Var ( X ) = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 σ = Var ( X ) \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} σ = Var ( X ) X X X
Cov ( X , Y ) = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] , ρ = Cov ( X , Y ) σ X σ Y \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],\qquad \rho=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} Cov ( X , Y ) = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] , ρ = σ X σ Y Cov ( X , Y ) (1) 协方差衡量联动：当 X X X Y Y Y ρ \rho ρ − 1 -1 − 1 1 1 1 Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 Cov ( X , Y ) \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 Cov ( X , Y ) w i w_i w i Var = ∑ i , j w i w j Cov ( R i , R j ) = w T Σ w \operatorname{Var}=\sum_{i,j}w_iw_j\operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w} Var = ∑ i , j w i w j Cov ( R i , R j ) = w T Σ w
一个离散收益率与双资产组合 某收益率（百分数）取
− 2 -2 − 2 、
1 1 1 、
4 4 4 ，概率分别为
0.2 0.2 0.2 、
0.5 0.5 0.5 、
0.3 0.3 0.3 。则
E [ X ] = − 0.4 + 0.5 + 1.2 = 1.3 E[X]=-0.4+0.5+1.2=1.3 E [ X ] = − 0.4 + 0.5 + 1.2 = 1.3 ，
E [ X 2 ] = 0.8 + 0.5 + 4.8 = 6.1 E[X^2]=0.8+0.5+4.8=6.1 E [ X 2 ] = 0.8 + 0.5 + 4.8 = 6.1 ，
Var ( X ) = 6.1 − 1.3 2 = 4.41 \operatorname{Var}(X)=6.1-1.3^2=4.41 Var ( X ) = 6.1 − 1. 3 2 = 4.41 ，所以
σ = 2.1 \sigma=2.1 σ = 2.1 。再把资金 50/50 分给两个资产，
σ 1 = 0.2 \sigma_1=0.2 σ 1 = 0.2 ，
σ 2 = 0.3 \sigma_2=0.3 σ 2 = 0.3 ，
ρ = 0.5 \rho=0.5 ρ = 0.5 ：
Var = 0.25 ( 0.04 ) + 0.25 ( 0.09 ) + 2 ( 0.25 ) ( 0.5 ) ( 0.2 ) ( 0.3 ) = 0.0475 \operatorname{Var}=0.25(0.04)+0.25(0.09)+2(0.25)(0.5)(0.2)(0.3)=0.0475 Var = 0.25 ( 0.04 ) + 0.25 ( 0.09 ) + 2 ( 0.25 ) ( 0.5 ) ( 0.2 ) ( 0.3 ) = 0.0475 ，所以
σ p ≈ 0.218 \sigma_p\approx0.218 σ p ≈ 0.218 ，低于平均值 0.25。
期望 是线性的，不论是否独立。方差 ：E [ X 2 ] − E [ X ] 2 E[X^2]-E[X]^2 E [ X 2 ] − E [ X ] 2 Var ( a X + b ) = a 2 Var ( X ) \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X) Var ( a X + b ) = a 2 Var ( X ) 协方差与相关系数 衡量联动；Cov ( X , X ) = Var ( X ) \operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X) Cov ( X , X ) = Var ( X ) 零相关不等于独立 独立的变量协方差为零，反之不然。若 X X X Y = X 2 Y=X^2 Y = X 2 Cov ( X , Y ) = 0 \operatorname{Cov}(X,Y)=0 Cov ( X , Y ) = 0 Y Y Y X X X 实验：评分内容 期望收益率 15 分 方差 15 分 协方差 10 分 组合方差 20 分 哪些规则正确 15 分 相关系数 10 分 分散投资为何有效 15 分 
