Gesetz der großen Zahlen

Mittelwerte beruhigen sich, langsam

Gegeben seien unabhängige Beobachtungen $X_1,X_2,\dots$ mit gleichem Mittelwert $\mu$ und gleicher Varianz $\sigma^2$, und $\bar X_n$ sei ihr Durchschnitt. Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass $\bar X_n$ mit wachsendem $n$ gegen $\mu$ konvergiert. Deshalb gewinnt ein Casino langfristig, deshalb konvergiert ein Monte-Carlo-Mittel gegen den wahren Erwartungswert, und deshalb ist die Schätzung einer mittleren Rendite mit mehr Daten besser als mit weniger.

Wie schnell? Der Durchschnitt hat denselben Erwartungswert $\mu$, aber die Varianz $\sigma^2/n$, sein typischer Fehler, der Standardfehler, ist also $\sigma/\sqrt{n}$. Die Genauigkeit wächst nur wie die Wurzel der Stichprobengröße: Um den Fehler zu halbieren, braucht man viermal so viele Daten, für eine weitere Stelle hundertmal so viele. Dasselbe Wurzelgesetz bestimmt den Fehler von Monte-Carlo-Simulationen.

• GGZ: Der Stichprobenmittelwert konvergiert mit wachsendem $n$ gegen den wahren Mittelwert.
• Standardfehler: $\sigma/\sqrt{n}$; die vierfache Datenmenge halbiert ihn.
• Kein Ausgleichsgesetz: Vergangenes Glück wird nicht durch künftiges korrigiert.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Standardfehler15 Pkt.
• Die nötige Stichprobengröße15 Pkt.
• Was das Gesetz sagt15 Pkt.
• Was es nicht verspricht15 Pkt.
• Monte-Carlo-Genauigkeit15 Pkt.
• Zehn Jahre Daten15 Pkt.
• Warum zehn Jahre nicht reichen10 Pkt.