Lei dos grandes números

As médias se estabilizam, devagar

Tomemos observações independentes $X_1,X_2,\dots$ com a mesma média $\mu$ e variância $\sigma^2$ , e seja $\bar X_n$ a sua média. A lei dos grandes números diz que $\bar X_n$ converge para $\mu$ quando $n$ cresce. Por isso o cassino ganha a longo prazo, por isso uma média de Monte Carlo converge para a esperança verdadeira e por isso estimar um retorno médio com mais dados é melhor do que com menos.

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

Com que rapidez? A média tem a mesma esperança $\mu$ mas variância $\sigma^2/n$ , então seu erro típico, o erro-padrão, é $\sigma/\sqrt{n}$ . A precisão melhora apenas como a raiz quadrada do tamanho da amostra: para reduzir o erro à metade são necessários quatro vezes mais dados, e para ganhar mais um dígito são necessários cem vezes mais. A mesma lei da raiz quadrada governa o erro das simulações de Monte Carlo.

O que dez anos podem nos dizer?Uma ação tem volatilidade anual

\sigma=20\%

. Dez anos de retornos anuais dão um erro-padrão da média de

20\%/\sqrt{10}\approx6{,}3\%

. Um retorno esperado verdadeiro plausível é de 6 a 8%, então a incerteza da estimativa é tão grande quanto a própria grandeza: dez anos não permitem distinguir com confiança uma ação de 7% de uma de 0%. Para fixar a média em

\pm1\%

seriam necessários

(20/1)^2=400

anos.

LGN: a média amostral converge para a média verdadeira quando $n$ cresce.
Erro-padrão: $\sigma/\sqrt{n}$ ; quatro vezes mais dados o reduzem à metade.
Não é uma lei de compensação: a sorte passada não é corrigida pela sorte futura.

A falácia do apostadorDepois de cinco operações perdedoras seguidas, uma vencedora não está «devida». Ensaios independentes não têm memória: a lei dos grandes números funciona porque os dados novos encobrem a sequência inicial, não porque a sequência seja anulada. A média dos primeiros 1000 ensaios é dominada pelos posteriores, mas o lucro total pode se afastar cada vez mais do valor esperado, em cerca de

\sigma\sqrt{n}

Lab: o que é avaliado

Um erro-padrão15 pts
O tamanho de amostra necessário15 pts
O que diz a lei15 pts
O que não promete15 pts
Precisão do Monte Carlo15 pts
Dez anos de dados15 pts
Por que dez anos não bastam10 pts

As médias se estabilizam, devagar

E[\bar X_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{\sigma^{2}}{n},\qquad \text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

(1)

O que dez anos podem nos dizer?Uma ação tem volatilidade anual

\sigma=20\%

. Dez anos de retornos anuais dão um erro-padrão da média de

20\%/\sqrt{10}\approx6{,}3\%

\pm1\%

seriam necessários

(20/1)^2=400

anos.

LGN: a média amostral converge para a média verdadeira quando $n$ cresce.
Erro-padrão: $\sigma/\sqrt{n}$ ; quatro vezes mais dados o reduzem à metade.
Não é uma lei de compensação: a sorte passada não é corrigida pela sorte futura.

\sigma\sqrt{n}

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Um erro-padrão15 pts
O tamanho de amostra necessário15 pts
O que diz a lei15 pts
O que não promete15 pts
Precisão do Monte Carlo15 pts
Dez anos de dados15 pts
Por que dez anos não bastam10 pts

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