Ley de los grandes números

Los promedios se estabilizan, despacio

Tomemos observaciones independientes $X_1,X_2,\dots$ con la misma media $\mu$ y varianza $\sigma^2$, y sea $\bar X_n$ su promedio. La ley de los grandes números dice que $\bar X_n$ converge a $\mu$ cuando $n$ crece. Por eso el casino gana a largo plazo, por eso un promedio de Monte Carlo converge a la esperanza verdadera y por eso estimar un rendimiento medio con más datos es mejor que con menos.

¿Con qué rapidez? El promedio tiene la misma media $\mu$ pero una varianza de $\sigma^2/n$, así que su error típico, el error estándar, es $\sigma/\sqrt{n}$. La precisión mejora solo como la raíz cuadrada del tamaño de la muestra: para reducir el error a la mitad hacen falta cuatro veces más datos, y para ganar un dígito más hacen falta cien veces más. La misma ley de raíz cuadrada rige el error de las simulaciones de Monte Carlo.

• LGN: el promedio muestral converge a la media verdadera cuando $n$ crece.
• Error estándar: $\sigma/\sqrt{n}$; cuatro veces más datos lo reduce a la mitad.
• No es una ley de compensación: la suerte pasada no se corrige con la suerte futura.

Lab: qué se califica

• Un error estándar15 pts
• El tamaño de muestra necesario15 pts
• Qué dice la ley15 pts
• Lo que no promete15 pts
• Precisión de Monte Carlo15 pts
• Diez años de datos15 pts
• Por qué diez años no bastan10 pts