قانون الأعداد الكبيرة

المتوسطات تستقر ببطء

لنأخذ مشاهدات مستقلة $X_1,X_2,\dots$ لها المتوسط $\mu$ والتباين $\sigma^2$ نفسهما، وليكن $\bar X_n$ متوسطها. يقول قانون الأعداد الكبيرة إن $\bar X_n$ يتقارب من $\mu$ كلما كبر $n$. ولهذا يربح الكازينو على المدى الطويل، ولهذا يتقارب متوسط مونت كارلو من التوقع الحقيقي، ولهذا يكون تقدير متوسط العائد ببيانات أكثر أفضل منه ببيانات أقل.

بأي سرعة؟ للمتوسط المتوسط نفسه $\mu$ لكن تباينه $\sigma^2/n$، فخطؤه المعتاد، أي الخطأ المعياري، هو $\sigma/\sqrt{n}$. وتتحسن الدقة كالجذر التربيعي لحجم العينة فقط: لتنصيف الخطأ تحتاج إلى أربعة أضعاف البيانات، ولكسب رقم إضافي تحتاج إلى مئة ضعف. ويحكم قانون الجذر التربيعي نفسه خطأ محاكاة مونت كارلو.

• قانون الأعداد الكبيرة: يتقارب متوسط العينة من المتوسط الحقيقي كلما كبر $n$.
• الخطأ المعياري: $\sigma/\sqrt{n}$؛ أربعة أضعاف البيانات تنصّفه.
• ليس قانون تعويض: حظ الماضي لا يصحّحه حظ المستقبل.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• خطأ معياري15 نقطة
• حجم العينة اللازم15 نقطة
• ما يقوله القانون15 نقطة
• ما لا يعد به15 نقطة
• دقة مونت كارلو15 نقطة
• عشر سنوات من البيانات15 نقطة
• لماذا لا تكفي عشر سنوات10 نقطة