联合分布与 Copula

同时处理多个变量

联合分布给每一对 $(X,Y)$ 指定概率。对其中一个变量求和，就得到另一个变量的边缘分布。当联合概率总等于边缘概率之积 $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ 时， $X$ 与 $Y$ 独立；否则它们相依，而前面主题中的协方差和相关系数把这种相依的线性部分概括成一个数。

F(x,y)=C\big(F_X(x),F_Y(y)\big),\qquad C:[0,1]^{2}\to[0,1]

(1)

当相依不是线性的，或在尾部最强时，相关系数是一个很差的概括。Copula $C$ 把联合分布拆成两部分：边缘分布 $F_X,F_Y$ 说明每个变量单独的行为，而 Copula（均匀变量的联合分布）说明它们如何一起变动（Sklar 定理）。无论相关性多高，高斯 Copula 都没有尾部相依：在极限下，一个变量的极端波动并不会使另一个变量的极端波动更可能出现。学生 $t$ Copula 则有尾部相依，因此更适合同涨同跌、一起暴跌的资产。

联合分布表设

X

和

Y

是两只股票是否亏损的 0/1 指示变量，联合概率为

P(0,0)=0.5

，

P(0,1)=0.1

，

P(1,0)=0.1

，

P(1,1)=0.3

。边缘概率为

P(X=1)=P(Y=1)=0.4

。若独立应有

P(1,1)=0.4\cdot0.4=0.16

，但实际是

0.3

，所以两只股票同时亏损的频率高于随机水平。

\operatorname{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]=0.3-0.16=0.14

，每个变量的方差为

0.4\cdot0.6=0.24

，所以相关系数为

0.14/0.24\approx0.583

。

边缘分布由联合分布求和得到；独立意味着联合分布等于它们的积。
Copula：去掉边缘分布后剩下的相依结构（Sklar）。
尾部相依：高斯 Copula 没有，学生 $t$ Copula 有。

2008 年危机背后的 Copula2008 年之前，许多信用衍生品的定价使用只有一个相关系数的高斯 Copula，这意味着危机中的联合违约会比实际少见得多。校准出来的相关系数无法弥补缺失的尾部相依。为风险建模相依性时，要检验模型同时产生多笔极端损失的频率，并与历史对比。

实验：评分内容

边缘概率10 分
协方差15 分
相关系数15 分
是否独立10 分
关于 Copula 的事实15 分
高斯 Copula 模拟15 分
低相关、同时暴跌20 分

同时处理多个变量

F(x,y)=C\big(F_X(x),F_Y(y)\big),\qquad C:[0,1]^{2}\to[0,1]

(1)

联合分布表设

X

和

Y

是两只股票是否亏损的 0/1 指示变量，联合概率为

P(0,0)=0.5

，

P(0,1)=0.1

，

P(1,0)=0.1

，

P(1,1)=0.3

。边缘概率为

P(X=1)=P(Y=1)=0.4

。若独立应有

P(1,1)=0.4\cdot0.4=0.16

，但实际是

0.3

，所以两只股票同时亏损的频率高于随机水平。

\operatorname{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]=0.3-0.16=0.14

，每个变量的方差为

0.4\cdot0.6=0.24

，所以相关系数为

0.14/0.24\approx0.583

。

边缘分布由联合分布求和得到；独立意味着联合分布等于它们的积。
Copula：去掉边缘分布后剩下的相依结构（Sklar）。
尾部相依：高斯 Copula 没有，学生 $t$ Copula 有。

实验：评分内容

边缘概率10 分
协方差15 分
相关系数15 分
是否独立10 分
关于 Copula 的事实15 分
高斯 Copula 模拟15 分
低相关、同时暴跌20 分

同时处理多个变量

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。

联合分布与 Copula

同时处理多个变量

实验：评分内容

登录后即可运行你的代码。