Gemeinsame Verteilungen und Copulas

Mehr als eine Variable zugleich

Eine gemeinsame Verteilung ordnet Paaren $(X,Y)$ Wahrscheinlichkeiten zu. Summiert man sie über eine Variable, erhält man die Randverteilung der anderen. $X$ und $Y$ sind genau dann unabhängig, wenn die gemeinsame Wahrscheinlichkeit stets das Produkt der Randverteilungen ist, $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$. Andernfalls sind sie abhängig, und Kovarianz und Korrelation aus den früheren Themen fassen den linearen Teil dieser Abhängigkeit in einer Zahl zusammen.

Die Korrelation fasst eine Abhängigkeit schlecht zusammen, wenn sie nicht linear oder in den Rändern am stärksten ist. Eine Copula $C$ trennt die beiden Bestandteile einer gemeinsamen Verteilung: Die Randverteilungen $F_X,F_Y$ sagen, wie sich jede Variable allein verhält, und die Copula, eine gemeinsame Verteilung gleichverteilter Variablen, sagt, wie sie sich gemeinsam bewegen (Satz von Sklar). Die Gauß-Copula hat keine Randabhängigkeit, wie hoch die Korrelation auch ist: Extreme Bewegungen der einen machen extreme der anderen im Grenzfall nicht wahrscheinlicher. Eine Student-$t$-Copula hat sie, weshalb sie für Assets bevorzugt wird, die gemeinsam abstürzen.

• Randverteilungen entstehen durch Summieren der gemeinsamen; Unabhängigkeit heißt, die gemeinsame ist ihr Produkt.
• Copula: die Abhängigkeitsstruktur, die nach Entfernen der Randverteilungen bleibt (Sklar).
• Randabhängigkeit: Die Gauß-Copula hat keine, die Student-$t$-Copula schon.

Lab: Was bewertet wird

• Eine Randwahrscheinlichkeit10 Pkt.
• Die Kovarianz15 Pkt.
• Die Korrelation15 Pkt.
• Sind sie unabhängig10 Pkt.
• Fakten zu Copulas15 Pkt.
• Eine Gauß-Copula-Simulation15 Pkt.
• Geringe Korrelation, gemeinsame Crashs20 Pkt.