複数の変数を同時に扱う
同時分布は組 に確率を割り当てます。一方の変数について足し合わせると、他方の周辺分布が得られます。同時確率がつねに周辺確率の積 になるとき、またそのときに限り と は独立です。そうでなければ従属で、前のトピックの共分散と相関は、その依存関係の線形な部分を1つの数にまとめたものです。
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相関は、依存関係が線形でない場合や、テールで最も強い場合には不十分な要約です。コピュラ は同時分布の2つの要素を分けます。周辺分布 は各変数が単独でどう振る舞うかを、コピュラ（一様な変数の同時分布）は両者がどう一緒に動くかを表します（スクラーの定理）。ガウス・コピュラは、相関がどれだけ高くてもテール依存を持ちません。一方の極端な動きが、極限では他方の極端な動きを起こりやすくしないのです。スチューデントtコピュラはテール依存を持つため、一緒に暴落する資産に好まれます。
同時分布表 と を2つの株式で損失が出たかどうかの0/1指標とし、同時確率を 、、、 とします。周辺確率は です。独立なら のはずですが実際は なので、2つの株は偶然より頻繁に一緒に損をします。、それぞれの分散は なので、相関は です。
- 周辺分布は同時分布を足し合わせて得る。独立は同時分布が周辺分布の積になること。
- コピュラ：周辺分布を除いた後に残る依存構造（スクラー）。
- テール依存：ガウス・コピュラにはなく、スチューデントtコピュラにはある。
2008年の危機の背後にあったコピュラ2008年以前、多くのクレジット・デリバティブの価格付けは、相関を1つの数で表すガウス・コピュラを使っていました。これは、危機での同時デフォルトが実際よりずっとまれになるという含意を持っていました。キャリブレーションした相関では、欠けているテール依存を補えません。リスクのために依存関係をモデル化するときは、モデルが極端な損失を同時に何度生むかを調べ、過去と比べてください。
ラボ：採点される内容
- 周辺確率10点
- 共分散15点
- 相関15点
- 独立か10点
- コピュラに関する事実15点
- ガウス・コピュラによるシミュレーション15点
- 低い相関、同時暴落20点