التوزيعات المشتركة والكوبولا

أكثر من متغير في آن واحد

يسند التوزيع المشترك احتمالات إلى الأزواج $(X,Y)$. وجمعه على أحد المتغيرين يعطي التوزيع الهامشي للآخر. ويكون $X$ و$Y$ مستقلين تمامًا حين يكون الاحتمال المشترك دائمًا جداء الهامشيين $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$. وإلا كانا معتمدين، ويلخّص التغاير والارتباط من المواضيع السابقة في عدد واحد الجزء الخطي من هذا الاعتماد.

الارتباط ملخص رديء حين لا يكون الاعتماد خطيًا أو حين يبلغ أشده في الذيول. وتفصل الكوبولا $C$ مكوّنَي التوزيع المشترك: فالهوامش $F_X,F_Y$ تقول كيف يسلك كل متغير وحده، والكوبولا، وهي توزيع مشترك لمتغيرات منتظمة، تقول كيف يتحركان معًا (مبرهنة سكلار). والكوبولا الغاوسية بلا اعتماد في الذيول مهما ارتفع الارتباط: فالتحركات المتطرفة في أحدهما لا ترفع في النهاية احتمال التحركات المتطرفة في الآخر. أما كوبولا ستيودنت فلها ذلك، ولهذا تُفضَّل للأصول التي تنهار معًا.

• الهوامش تأتي من جمع المشترك؛ والاستقلال يعني أن المشترك جداؤها.
• الكوبولا: بنية الاعتماد المتبقية بعد إزالة الهوامش (سكلار).
• اعتماد الذيول: الكوبولا الغاوسية لا تملكه وكوبولا ستيودنت تملكه.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• احتمال هامشي10 نقطة
• التغاير15 نقطة
• الارتباط15 نقطة
• هل هما مستقلان10 نقطة
• حقائق عن الكوبولا15 نقطة
• محاكاة بكوبولا غاوسية15 نقطة
• ارتباط منخفض وانهيارات مشتركة20 نقطة