Mais de uma variável ao mesmo tempo
Uma distribuição conjunta atribui probabilidades a pares (X,Y). Somá-la sobre uma variável dá a distribuição marginal da outra. X e Y são independentes exatamente quando a probabilidade conjunta é sempre o produto das marginais, P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). Caso contrário são dependentes, e a covariância e a correlação dos tópicos anteriores resumem em um número a parte linear dessa dependência.
F(x,y)=C(FX(x),FY(y)),C:[0,1]2→[0,1](1) A correlação resume mal uma dependência que não é linear ou que é mais forte nas caudas. Uma cópula C separa os dois ingredientes de uma distribuição conjunta: as marginais FX,FY dizem como cada variável se comporta sozinha, e a cópula, uma distribuição conjunta de variáveis uniformes, diz como elas se movem juntas (teorema de Sklar). A cópula gaussiana não tem dependência de cauda, por mais alta que seja a correlação: no limite, movimentos extremos de uma não tornam mais prováveis os extremos da outra. Uma cópula t de Student tem, por isso é preferida para ativos que colapsam juntos.
Uma tabela conjuntaSejam
X e
Y os indicadores 0/1 de uma perda em duas ações, com probabilidades conjuntas
P(0,0)=0,5,
P(0,1)=0,1,
P(1,0)=0,1,
P(1,1)=0,3. As marginais são
P(X=1)=P(Y=1)=0,4. A independência exigiria
P(1,1)=0,4⋅0,4=0,16, mas é
0,3, então as ações perdem juntas mais do que o acaso.
Cov=E[XY]−E[X]E[Y]=0,3−0,16=0,14 e, como
Var=0,4⋅0,6=0,24 para cada uma, a correlação é
0,14/0,24≈0,583.
- Marginais: obtêm-se somando a conjunta; independência: a conjunta é o produto delas.
- Cópula: a estrutura de dependência que resta ao remover as marginais (Sklar).
- Dependência de cauda: a cópula gaussiana não tem; a t de Student tem.
A cópula por trás da crise de 2008Antes de 2008 muitos preços de derivativos de crédito usavam uma cópula gaussiana com um único número de correlação, o que implicava que inadimplências conjuntas numa crise seriam bem mais raras do que foram. Uma correlação calibrada não compensa a falta de dependência de cauda. Ao modelar a dependência para o risco, teste com que frequência seu modelo produz várias perdas extremas ao mesmo tempo e compare com a história.
Lab: o que é avaliado
- Uma probabilidade marginal10 pts
- A covariância15 pts
- A correlação15 pts
- São independentes10 pts
- Fatos sobre cópulas15 pts
- Uma simulação com cópula gaussiana15 pts
- Baixa correlação, colapsos conjuntos20 pts
