Plusieurs variables à la fois
Une loi conjointe attribue des probabilités aux couples (X,Y). La sommer sur une variable donne la loi marginale de l'autre. X et Y sont indépendantes exactement quand la probabilité conjointe est toujours le produit des marginales, P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). Sinon elles sont dépendantes, et la covariance et la corrélation des sujets précédents résument en un nombre la partie linéaire de cette dépendance.
F(x,y)=C(FX(x),FY(y)),C:[0,1]2→[0,1](1) La corrélation résume mal une dépendance qui n'est pas linéaire ou qui est la plus forte dans les queues. Une copule C sépare les deux ingrédients d'une loi conjointe : les marginales FX,FY disent comment chaque variable se comporte seule, et la copule, loi conjointe de variables uniformes, dit comment elles évoluent ensemble (théorème de Sklar). La copule gaussienne n'a pas de dépendance de queue, aussi forte soit la corrélation : à la limite, des mouvements extrêmes de l'une ne rendent pas plus probables des mouvements extrêmes de l'autre. Une copule de Student en a, d'où sa préférence pour des actifs qui chutent ensemble.
Un tableau conjointSoient
X et
Y les indicatrices 0/1 d'une perte sur deux actions, de probabilités conjointes
P(0,0)=0,5,
P(0,1)=0,1,
P(1,0)=0,1,
P(1,1)=0,3. Les marginales sont
P(X=1)=P(Y=1)=0,4. L'indépendance exigerait
P(1,1)=0,4⋅0,4=0,16, or elle vaut
0,3 : les actions perdent ensemble plus souvent que par hasard.
Cov=E[XY]−E[X]E[Y]=0,3−0,16=0,14, et comme
Var=0,4⋅0,6=0,24 pour chacune, la corrélation vaut
0,14/0,24≈0,583.
- Marginales : on somme la conjointe ; indépendance : la conjointe est leur produit.
- Copule : la structure de dépendance qui reste une fois retirées les marginales (Sklar).
- Dépendance de queue : la copule gaussienne n'en a pas ; la copule de Student en a.
La copule derrière la crise de 2008Avant 2008, de nombreux prix de dérivés de crédit employaient une copule gaussienne à un seul nombre de corrélation, ce qui impliquait que les défauts conjoints en crise seraient bien plus rares qu'ils ne l'ont été. Une corrélation calibrée ne peut pas compenser l'absence de dépendance de queue. Quand vous modélisez la dépendance pour le risque, testez la fréquence à laquelle votre modèle produit plusieurs pertes extrêmes simultanées et comparez à l'historique.
Lab : ce qui est noté
- Une probabilité marginale10 pts
- La covariance15 pts
- La corrélation15 pts
- Sont-elles indépendantes10 pts
- Faits sur les copules15 pts
- Une simulation par copule gaussienne15 pts
- Faible corrélation, krachs conjoints20 pts
