Chaînes de Markov

Un processus à mémoire d'un pas

Une chaîne de Markov passe entre un ensemble fini d'états, et l'état suivant ne dépend que de l'état actuel : $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{historique})=P_{ij}$. Le modèle tout entier est la matrice de transition $P$, dont les lignes sont des lois de probabilité (chaque ligne somme à 1). On décrit souvent les marchés comme alternant entre régimes (calme et turbulent, haussier et baissier), et la chaîne de Markov est le modèle le plus simple de cette alternance.

Les probabilités de transition en $n$ pas sont les entrées de la puissance matricielle $P^{n}$, c'est-à-dire le produit matriciel des sujets d'algèbre linéaire précédents à l'œuvre. Une loi stationnaire $\boldsymbol\pi$ vérifie $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ : si la chaîne la prend au départ, elle la garde indéfiniment. Pour une chaîne où chaque état peut atteindre tous les autres (irréductible) et qui ne boucle pas avec une période fixe (apériodique), la loi stationnaire est unique et la chaîne y converge depuis n'importe quel départ ; $\pi_i$ est la proportion de temps passée à long terme dans l'état $i$. Le temps passé dans un état avant de le quitter est géométrique, de moyenne $1/(1-P_{ii})$.

• Propriété de Markov : l'état suivant ne dépend que de l'état actuel.
• $n$ pas : utilisez $P^{n}$. Stationnaire : résolvez $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ avec des entrées de somme 1.
• Durée : un état de probabilité de rester $p$ dure en moyenne $1/(1-p)$ pas.

Lab : ce qui est noté

• Transitions à deux jours20 pts
• La loi stationnaire15 pts
• Combien dure un régime15 pts
• De haussier à baissier en deux jours10 pts
• La propriété de Markov15 pts
• Quand elle converge10 pts
• Ce que signifie la loi stationnaire15 pts