Markov-Ketten

Ein Prozess mit Ein-Schritt-Gedächtnis

Eine Markov-Kette wechselt zwischen endlich vielen Zuständen, und der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen ab: $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{Vorgeschichte})=P_{ij}$. Das ganze Modell ist die Übergangsmatrix $P$, deren Zeilen Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind (jede Zeile summiert sich zu 1). Märkte werden oft als Wechsel zwischen Regimen beschrieben, etwa ruhig und turbulent oder Bulle und Bär, und eine Markov-Kette ist das einfachste Modell dieses Wechsels.

Die $n$-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten sind die Einträge der Matrixpotenz $P^{n}$, also die Matrixmultiplikation der früheren Themen zur linearen Algebra im Einsatz. Eine stationäre Verteilung $\boldsymbol\pi$ erfüllt $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$: Startet die Kette damit, behält sie sie für immer. Bei einer Kette, in der jeder Zustand jeden anderen erreicht (irreduzibel) und die nicht mit fester Periode kreist (aperiodisch), ist die stationäre Verteilung eindeutig und die Kette konvergiert von jedem Start dagegen; $\pi_i$ ist der langfristige Zeitanteil im Zustand $i$. Die Verweilzeit in einem Zustand ist geometrisch mit Mittelwert $1/(1-P_{ii})$.

• Markov-Eigenschaft: Der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen ab.
• $n$ Schritte: $P^{n}$ nutzen. Stationär: $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ lösen, mit Einträgen, die sich zu 1 summieren.
• Dauer: Ein Zustand mit Verbleibswahrscheinlichkeit $p$ dauert im Mittel $1/(1-p)$ Schritte.

Lab: Was bewertet wird

• Zwei-Tages-Übergänge20 Pkt.
• Die stationäre Verteilung15 Pkt.
• Wie lange ein Regime dauert15 Pkt.
• Von Bulle zu Bär in zwei Tagen10 Pkt.
• Die Markov-Eigenschaft15 Pkt.
• Wann sie konvergiert10 Pkt.
• Was die stationäre Verteilung bedeutet15 Pkt.