マルコフ連鎖

1ステップの記憶を持つ過程

マルコフ連鎖は有限個の状態の間を移り、次の状態は現在の状態だけに依存します。 $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{過去の履歴})=P_{ij}$ 。モデル全体が遷移行列 $P$ で、各行は確率分布（行の和は1）です。市場は、穏やかな局面と荒れた局面、強気と弱気といったレジームを切り替えるものとしてよく説明され、マルコフ連鎖はその切り替えの最も単純なモデルです。

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

$n$ ステップの遷移確率は行列のべき乗 $P^{n}$ の成分で、これまでの線形代数のトピックの行列の積がそのまま働きます。定常分布 $\boldsymbol\pi$ は $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ を満たし、これを初期分布にすればずっと保たれます。どの状態からどの状態へも到達でき（既約）、一定の周期で巡回しない（非周期的）連鎖では、定常分布は一意で、どの初期状態からもそこへ収束します。 $\pi_i$ は状態 $i$ に長期的に滞在する時間の割合です。状態を離れるまでの滞在時間は幾何分布で、平均は $1/(1-P_{ii})$ です。

強気市場と弱気市場日々の状態を強気（B）か弱気（R）とし、

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

とします。2日後は

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

で、強気相場から始めたとき2日後に弱気相場である確率は0.17です。定常分布は

0.1\pi_B=0.2\pi_R

を解いて

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

となり、長期的に市場は3分の2の時間を強気状態で過ごします。強気レジームは平均

1/(1-0.9)=10

日続きます。

マルコフ性：次の状態は現在の状態だけに依存する。
$n$ ステップ： $P^{n}$ を使う。定常：成分の和が1で $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ を解く。
継続期間：自己遷移確率が $p$ の状態は平均 $1/(1-p)$ ステップ続く。

レジームは観測ではなくモデル化されるもの現実の市場はレジームを宣言してくれません。当てはめたマルコフ連鎖は切り替えの確率を与えますが、現在のレジームはリターンから推定しなければなりません。状態が隠れている場合は隠れマルコフモデルになり、後のスキルで扱います。推定した遷移確率自体もノイズを含むため、10日のような継続期間にも大きな不確実性があります。

ラボ：採点される内容

2日間の遷移20点
定常分布15点
レジームの継続期間15点
2日で強気から弱気へ10点
マルコフ性15点
収束するとき10点
定常分布の意味15点

1ステップの記憶を持つ過程

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

強気市場と弱気市場日々の状態を強気（B）か弱気（R）とし、

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

とします。2日後は

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

で、強気相場から始めたとき2日後に弱気相場である確率は0.17です。定常分布は

0.1\pi_B=0.2\pi_R

を解いて

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

となり、長期的に市場は3分の2の時間を強気状態で過ごします。強気レジームは平均

1/(1-0.9)=10

日続きます。

マルコフ性：次の状態は現在の状態だけに依存する。
$n$ ステップ： $P^{n}$ を使う。定常：成分の和が1で $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ を解く。
継続期間：自己遷移確率が $p$ の状態は平均 $1/(1-p)$ ステップ続く。

ラボ：採点される内容

2日間の遷移20点
定常分布15点
レジームの継続期間15点
2日で強気から弱気へ10点
マルコフ性15点
収束するとき10点
定常分布の意味15点

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