马尔可夫链

只有一步记忆的过程

马尔可夫链在有限个状态之间转移，下一个状态只取决于当前状态： $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{历史})=P_{ij}$ 。整个模型就是转移矩阵 $P$ ，它的每一行都是概率分布（每行之和为 1）。市场常被描述为在不同状态之间切换，如平静与动荡、牛市与熊市，而马尔可夫链是这种切换最简单的模型。

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

$n$ 步转移概率是矩阵幂 $P^{n}$ 的元素，这正是前面线性代数主题中矩阵乘法的用武之地。平稳分布 $\boldsymbol\pi$ 满足 $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ ：若链以它为初始分布，就会永远保持它。对于每个状态都能到达其他所有状态（不可约）且不以固定周期循环（非周期）的链，平稳分布唯一，且链从任何起点都会收敛到它； $\pi_i$ 是链在长期内处于状态 $i$ 的时间比例。离开某状态前停留的时间服从几何分布，均值为 $1/(1-P_{ii})$ 。

牛市与熊市设每日状态为牛市（B）或熊市（R），

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

。两天后

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

：从牛市出发，两天后处于熊市的概率为 0.17。平稳分布满足

0.1\pi_B=0.2\pi_R

，所以

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

：长期来看，市场有三分之二的时间处于牛市状态。牛市状态平均持续

1/(1-0.9)=10

天。

马尔可夫性：下一状态只取决于当前状态。
$n$ 步：用 $P^{n}$ 。平稳：在元素和为 1 的条件下解 $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ 。
持续时间：自转移概率为 $p$ 的状态平均持续 $1/(1-p)$ 步。

状态是建模出来的，而不是观察到的真实的市场从不宣布它处于哪种状态。拟合好的马尔可夫链给出切换概率，但当前状态得从收益率中推断。当状态不可观测时，模型就变成隐马尔可夫模型，后面的技能会讲到。估计出的转移概率本身也有噪声，所以像 10 天这样的持续时间有很大的不确定性。

实验：评分内容

两天转移20 分
平稳分布15 分
状态持续多久15 分
两天内由牛转熊10 分
马尔可夫性15 分
何时收敛10 分
平稳分布的含义15 分

只有一步记忆的过程

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

牛市与熊市设每日状态为牛市（B）或熊市（R），

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

。两天后

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

：从牛市出发，两天后处于熊市的概率为 0.17。平稳分布满足

0.1\pi_B=0.2\pi_R

，所以

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

：长期来看，市场有三分之二的时间处于牛市状态。牛市状态平均持续

1/(1-0.9)=10

天。

马尔可夫性：下一状态只取决于当前状态。
$n$ 步：用 $P^{n}$ 。平稳：在元素和为 1 的条件下解 $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ 。
持续时间：自转移概率为 $p$ 的状态平均持续 $1/(1-p)$ 步。

实验：评分内容

两天转移20 分
平稳分布15 分
状态持续多久15 分
两天内由牛转熊10 分
马尔可夫性15 分
何时收敛10 分
平稳分布的含义15 分

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