سلاسل ماركوف

عملية ذات ذاكرة بخطوة واحدة

تنتقل سلسلة ماركوف بين مجموعة منتهية من الحالات ولا تعتمد الحالة التالية إلا على الحالة الراهنة: $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{التاريخ})=P_{ij}$ . والنموذج كله هو مصفوفة الانتقال $P$ التي صفوفها توزيعات احتمالية (مجموع كل صف 1). وغالبًا ما تُوصف الأسواق بأنها تتبدل بين أنظمة مثل الهدوء والاضطراب أو الصعود والهبوط، وسلسلة ماركوف أبسط نموذج لهذا التبدل.

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

احتمالات الانتقال في $n$ خطوة هي عناصر القوة المصفوفية $P^{n}$ ، أي ضرب المصفوفات من مواضيع الجبر الخطي السابقة وهو يعمل. والتوزيع المستقر $\boldsymbol\pi$ يحقق $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ : إن بدأت به السلسلة احتفظت به دائمًا. وفي سلسلة يمكن فيها بلوغ كل حالة من كل حالة (غير قابلة للاختزال) ولا تدور بدورة دورية ثابتة (غير دورية) يكون التوزيع المستقر وحيدًا وتتقارب السلسلة إليه من أي بداية؛ و $\pi_i$ هي نسبة الزمن على المدى الطويل في الحالة $i$ . والزمن في حالة قبل مغادرتها هندسي بمتوسط $1/(1-P_{ii})$ .

سوق صاعد وهابطليكن الوضع اليومي صاعدًا (B) أو هابطًا (R) مع

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

. بعد يومين

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

: بدءًا من سوق صاعدة يكون احتمال سوق هابطة بعد يومين 0.17. والتوزيع المستقر يحل

0.1\pi_B=0.2\pi_R

فيكون

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

: على المدى الطويل يقضي السوق ثلثي الزمن في الحالة الصاعدة. ويدوم النظام الصاعد في المتوسط

1/(1-0.9)=10

أيام.

خاصية ماركوف: لا تعتمد الحالة التالية إلا على الحالة الراهنة.
$n$ خطوة: استعمل $P^{n}$ . المستقر: حلّ $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ مع مجموع عناصر 1.
المدة: حالة احتمال بقائها $p$ تدوم في المتوسط $1/(1-p)$ خطوة.

الأنظمة تُنمذج ولا تُرصدالسوق الحقيقي لا يعلن نظامه أبدًا. وتعطيك سلسلة ماركوف المطابَقة احتمالات التبدل لكن عليك أن تستنتج النظام الراهن من العوائد. وحين تكون الحالة مخفية يصبح النموذج نموذج ماركوف المخفي الذي تعالجه مهارة لاحقة. واحتمالات الانتقال المقدَّرة مشوَّشة بحد ذاتها، فمدد مثل 10 أيام يكتنفها عدم يقين واسع.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

انتقالات يومين20 نقطة
التوزيع المستقر15 نقطة
كم يدوم النظام15 نقطة
من صاعد إلى هابط في يومين10 نقطة
خاصية ماركوف15 نقطة
متى تتقارب10 نقطة
معنى التوزيع المستقر15 نقطة

عملية ذات ذاكرة بخطوة واحدة

P^{(n)}=P^{n},\qquad \boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi,\qquad \sum_i\pi_i=1

(1)

سوق صاعد وهابطليكن الوضع اليومي صاعدًا (B) أو هابطًا (R) مع

P=\begin{pmatrix}0.9&0.1\\0.2&0.8\end{pmatrix}

. بعد يومين

P^2=\begin{pmatrix}0.83&0.17\\0.34&0.66\end{pmatrix}

: بدءًا من سوق صاعدة يكون احتمال سوق هابطة بعد يومين 0.17. والتوزيع المستقر يحل

0.1\pi_B=0.2\pi_R

فيكون

\boldsymbol\pi=(2/3,\ 1/3)

: على المدى الطويل يقضي السوق ثلثي الزمن في الحالة الصاعدة. ويدوم النظام الصاعد في المتوسط

1/(1-0.9)=10

أيام.

خاصية ماركوف: لا تعتمد الحالة التالية إلا على الحالة الراهنة.
$n$ خطوة: استعمل $P^{n}$ . المستقر: حلّ $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ مع مجموع عناصر 1.
المدة: حالة احتمال بقائها $p$ تدوم في المتوسط $1/(1-p)$ خطوة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

انتقالات يومين20 نقطة
التوزيع المستقر15 نقطة
كم يدوم النظام15 نقطة
من صاعد إلى هابط في يومين10 نقطة
خاصية ماركوف15 نقطة
متى تتقارب10 نقطة
معنى التوزيع المستقر15 نقطة

عملية ذات ذاكرة بخطوة واحدة

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

سلاسل ماركوف

عملية ذات ذاكرة بخطوة واحدة

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.