Cadeias de Markov

Um processo com memória de um passo

Uma cadeia de Markov se move entre um conjunto finito de estados, e o próximo estado depende apenas do atual: $P(X_{t+1}=j\mid X_t=i,\ \text{histórico})=P_{ij}$. O modelo inteiro é a matriz de transição $P$, cujas linhas são distribuições de probabilidade (cada linha soma 1). Os mercados costumam ser descritos como alternando entre regimes, como calmo e turbulento ou alta e baixa, e uma cadeia de Markov é o modelo mais simples dessa alternância.

As probabilidades de transição em $n$ passos são as entradas da potência matricial $P^{n}$, isto é, o produto de matrizes dos tópicos de álgebra linear anteriores em ação. Uma distribuição estacionária $\boldsymbol\pi$ satisfaz $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$: se a cadeia começa com ela, a mantém para sempre. Numa cadeia em que cada estado alcança todos os outros (irredutível) e que não cicla com período fixo (aperiódica), a distribuição estacionária é única e a cadeia converge a ela de qualquer início; $\pi_i$ é a proporção do tempo a longo prazo no estado $i$. O tempo em um estado antes de sair é geométrico, com média $1/(1-P_{ii})$.

• Propriedade de Markov: o próximo estado depende apenas do estado atual.
• $n$ passos: use $P^{n}$. Estacionária: resolva $\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi$ com entradas somando 1.
• Duração: um estado com probabilidade de permanência $p$ dura em média $1/(1-p)$ passos.

Lab: o que é avaliado

• Transições de dois dias20 pts
• A distribuição estacionária15 pts
• Quanto dura um regime15 pts
• De alta a baixa em dois dias10 pts
• A propriedade de Markov15 pts
• Quando converge10 pts
• O que significa a distribuição estacionária15 pts