Más de una variable a la vez
Una distribución conjunta asigna probabilidades a pares (X,Y). Sumarla sobre una variable da la distribución marginal de la otra. X e Y son independientes exactamente cuando la probabilidad conjunta es siempre el producto de las marginales, P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y). Si no, son dependientes, y la covarianza y la correlación de los temas anteriores resumen en un número la parte lineal de esa dependencia.
F(x,y)=C(FX(x),FY(y)),C:[0,1]2→[0,1](1) La correlación resume mal una dependencia que no es lineal o que es más fuerte en las colas. Una cópula C separa los dos ingredientes de una distribución conjunta: las marginales FX,FY dicen cómo se comporta cada variable sola, y la cópula, una distribución conjunta de variables uniformes, dice cómo se mueven juntas (teorema de Sklar). La cópula gaussiana no tiene dependencia de cola, por alta que sea la correlación: en el límite, los movimientos extremos de una no hacen más probables los extremos de la otra. Una cópula t de Student sí la tiene, por eso se prefiere para activos que se desploman juntos.
Una tabla conjuntaSean
X e
Y los indicadores 0/1 de una pérdida en dos acciones, con probabilidades conjuntas
P(0,0)=0,5,
P(0,1)=0,1,
P(1,0)=0,1,
P(1,1)=0,3. Las marginales son
P(X=1)=P(Y=1)=0,4. La independencia exigiría
P(1,1)=0,4⋅0,4=0,16, pero es
0,3, así que las acciones pierden juntas más a menudo que por azar.
Cov=E[XY]−E[X]E[Y]=0,3−0,16=0,14 y, como
Var=0,4⋅0,6=0,24 en cada una, la correlación es
0,14/0,24≈0,583.
- Marginales: se obtienen sumando la conjunta; independencia: la conjunta es su producto.
- Cópula: la estructura de dependencia que queda al quitar las marginales (Sklar).
- Dependencia de cola: la cópula gaussiana no la tiene; la t de Student sí.
La cópula detrás de la crisis de 2008Antes de 2008 muchos precios de derivados de crédito usaban una cópula gaussiana con un único número de correlación, lo que implicaba que los impagos conjuntos en una crisis serían mucho más raros de lo que fueron. Una correlación calibrada no puede suplir la dependencia de cola ausente. Al modelar la dependencia para el riesgo, compruebe con qué frecuencia su modelo produce varias pérdidas extremas a la vez y compárelo con la historia.
Lab: qué se califica
- Una probabilidad marginal10 pts
- La covarianza15 pts
- La correlación15 pts
- Son independientes10 pts
- Hechos sobre cópulas15 pts
- Una simulación con cópula gaussiana15 pts
- Baja correlación, desplomes conjuntos20 pts
