モデルをデータで検証する
この総仕上げは、スキルを検証に変えます。モデルはリターンについての確率的な主張であり、データで確かめられます。日次リターンが正規分布なら、1%の日で超える損失は99%バリュー・アット・リスク -(μ+zσ)（z=Φ⁻¹(0.01)≈-2.326）になります。この値を実際に超えた日数を数え、全日数の 1% と比べるのが、正規モデルのテールの直接的な検証です。
g₁=m₃/(m₂^(3/2)), g₂=m₄/m₂²-3, mₖ=1/nΣᵢ(rᵢ-r̄)^k
形は2つの数で要約できます。歪度は3次の標準化モーメントで、対称な分布では0です。尖度は4次の標準化モーメントで、正規分布では3なので、超過尖度（尖度−3）は正規分布で0、裾が重いと正になります。自由度 ν のスチューデントt分布は ν>4 で超過尖度 6/(ν-4) を持つため、リターンのテールを模倣できます。分散1でシミュレートするには、乱数を √(ν/(ν-2)) で割ります。
実際のデータが語ること2010年以降のAAPLでは、日次平均が約0.11%、標準偏差が1.77%なので、99%の正規VaRは約4.0%です。正規モデルは4,184日のうち -4.0% を下回る日が約42日と予想しますが、実際には70日で、約1.7倍です。超過尖度は約6で、正規分布なら0です。正規モデルは分布の中央ではなくテール、まさにリスクが問題になる場所で外れています。
- モーメント：平均、標準偏差、歪度、超過尖度が、位置・ばらつき・形を表す。
- VaRのバックテスト：超過日数を数え、(1-水準)·n と比べる。
- 分散1のスチューデントtは、正規分布の代わりに使える裾の重い選択肢。
バックテストは確率の問題期待42回に対して70回の超過は偶然ではありません。モデルが正しければ、回数は平均42、標準偏差約6.4の二項分布に近いはずで、70は標準偏差4個分以上高い値です。モデルが外れている、または当たっていると結論づける前に、このスキルの道具を使って、結果が偶然で生じる値からどれだけ離れているかを必ず問いましょう。
ラボ：採点される内容
- 標本モーメント25点
- 正規モデルのバリュー・アット・リスク15点
- 超過を数える15点
- スチューデントt乱数20点
- 実際のリターンのテール・レポート25点