用数据检验模型
本综合项目把技能变成一次检验。模型是关于收益率的概率陈述，数据可以检验它。若日收益率服从正态分布，则 1% 的交易日会被超过的损失就是 99% 风险价值 -(μ+zσ)，其中 z=Φ⁻¹(0.01)≈-2.326。数一数真实交易日中有多少超过这个数，再和全部交易日的 1% 比较，就是对正态模型尾部的直接检验。
g₁=m₃/(m₂^(3/2)), g₂=m₄/m₂²-3, mₖ=1/nΣᵢ(rᵢ-r̄)^k
两个数可以概括分布的形状。偏度是三阶标准化矩，对称分布的偏度为零。峰度是四阶标准化矩，正态分布的峰度为 3，因此超额峰度（峰度减 3）对正态分布为 0，尾部更厚时为正。自由度为 ν 的学生 t 分布在 ν>4 时超额峰度为 6/(ν-4)，所以它能模仿收益率的尾部。要生成方差为 1 的样本，需要把抽样值除以 √(ν/(ν-2))。
真实数据说明了什么对 2010 年以来的 AAPL，日均值约为 0.11%，标准差为 1.77%，所以 99% 的正态 VaR 约为 4.0%。正态模型预测在 4184 个交易日中约有 42 天低于 -4.0%；数据里却有 70 天，约为 1.7 倍。超额峰度约为 6，而正态分布为 0。正态模型在分布中部并没有错，错在尾部，也正是风险最要紧的地方。
- 矩：均值、标准差、偏度和超额峰度分别描述位置、离散和形状。
- VaR 回测：数超限天数，并与 (1-置信水平)·n 比较。
- 方差为 1 的学生 t 是可直接替代正态分布的厚尾选择。
回测是一个概率问题期望 42 次却出现 70 次超限并非巧合：若模型正确，次数应接近均值为 42、标准差约 6.4 的二项分布，70 次高出四个多标准差。在断言模型失败或有效之前，务必用本技能的工具问一问：结果距离随机性所能产生的水平有多远。
实验：评分内容
- 样本矩25 分
- 正态风险价值15 分
- 统计超限15 分
- 学生 t 抽样20 分
- 真实收益率的尾部报告25 分