逆矩阵与条件数

撤销一个映射

方阵 $A$ 有逆矩阵 $A^{-1}$ （ $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ ），当且仅当它的映射不丢失信息，即不同输入给出不同输出。行列式衡量 $A$ 对体积的缩放（翻转带符号），所以 $A$ 可逆当且仅当 $\det A\neq0$ 。对 $2\times2$ 矩阵， $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ 。有用的规则： $\det(AB)=\det A\,\det B$ ， $\det(A^{-1})=1/\det A$ 。

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

可逆并不等于安全。条件数 $\kappa(A)$ 表示 $\mathbf{b}$ （或 $A$ 的元素）中的微小相对误差在解 $\mathbf{x}$ 中最多会被放大多少。经验法则：在双精度约 16 位有效数字中，大约要损失 $\log_{10}\kappa$ 位。仅凭行列式很小说明不了什么，因为它与尺度有关： $0.001\,I$ 的行列式极小，但 $\kappa=1$ 。真正让 $\kappa$ 变得巨大的是几乎共线的列。

一个逆矩阵和一个近似奇异的例子对

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

：

\det A=24-14=10

，所以

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

。再看

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1.0001\end{pmatrix}

：它的两列几乎相等，

\det B=0.0001

，

\kappa(B)

约为

4\times10^{4}

，因此数据中

10^{-6}

的相对误差可能变成解中约

4\,\%

的误差。

可逆： $\det A\neq0$ 的方阵；不丢失信息。
条件数：数据误差被放大的程度；很大就意味着求解不稳。
不要为了求解而计算 $A^{-1}$ ：用分解求解更快也更准。

共线资产会破坏协方差矩阵两只几乎跟踪同一指数的 ETF 会给出各行几乎相等的协方差矩阵。它的

\kappa

极大，因此基于其逆矩阵的最小方差优化器会随数据的微小变化而剧烈摆动。在相信权重之前，先检查

\kappa

（或剔除、合并近乎重复的资产）。

实验：评分内容

2×2 矩阵的逆20 分
3×3 行列式10 分
找出奇异矩阵15 分
可信的位数15 分
良好的数值实践15 分
行列式规则10 分
为什么不求逆15 分

撤销一个映射

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

一个逆矩阵和一个近似奇异的例子对

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

：

\det A=24-14=10

，所以

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

。再看

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1.0001\end{pmatrix}

：它的两列几乎相等，

\det B=0.0001

，

\kappa(B)

约为

4\times10^{4}

，因此数据中

10^{-6}

的相对误差可能变成解中约

4\,\%

的误差。

可逆： $\det A\neq0$ 的方阵；不丢失信息。
条件数：数据误差被放大的程度；很大就意味着求解不稳。
不要为了求解而计算 $A^{-1}$ ：用分解求解更快也更准。

共线资产会破坏协方差矩阵两只几乎跟踪同一指数的 ETF 会给出各行几乎相等的协方差矩阵。它的

\kappa

极大，因此基于其逆矩阵的最小方差优化器会随数据的微小变化而剧烈摆动。在相信权重之前，先检查

\kappa

（或剔除、合并近乎重复的资产）。

实验：评分内容

2×2 矩阵的逆20 分
3×3 行列式10 分
找出奇异矩阵15 分
可信的位数15 分
良好的数值实践15 分
行列式规则10 分
为什么不求逆15 分

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