Inverse et conditionnement

Défaire une application

Une matrice carrée $A$ a un inverse $A^{-1}$, avec $A^{-1}A=AA^{-1}=I$, exactement quand son application ne perd aucune information : des entrées différentes donnent des sorties différentes. Le déterminant mesure la façon dont $A$ change les volumes (avec un signe pour les retournements) : $A$ est donc inversible exactement quand $\det A\neq0$. Pour une matrice $2\times2$, $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. Règles utiles : $\det(AB)=\det A\,\det B$ et $\det(A^{-1})=1/\det A$.

Inversible ne veut pas dire sûr. Le conditionnement $\kappa(A)$ indique de combien une petite erreur relative sur $\mathbf{b}$ (ou sur les entrées de $A$) peut être amplifiée dans la solution $\mathbf{x}$. Règle empirique : on perd environ $\log_{10}\kappa$ des quelque 16 chiffres de la double précision. Un petit déterminant ne prouve rien à lui seul, car il dépend de l'échelle : $0{,}001\,I$ a un déterminant minuscule mais $\kappa=1$. Ce sont des colonnes presque colinéaires qui rendent $\kappa$ énorme.

• Inversible : carrée avec $\det A\neq0$ ; aucune information n'est perdue.
• Conditionnement : de combien les erreurs sur les données sont amplifiées ; un grand conditionnement signifie une résolution fragile.
• Ne formez jamais $A^{-1}$ pour résoudre : une résolution par factorisation est plus rapide et plus précise.

Lab : ce qui est noté

• L'inverse d'une matrice 2 sur 220 pts
• Un déterminant 3 sur 310 pts
• Trouver la matrice singulière15 pts
• Chiffres fiables15 pts
• Bonnes pratiques numériques15 pts
• Règles du déterminant10 pts
• Pourquoi ne pas inverser15 pts