Inversa y condicionamiento

Deshacer una aplicación

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa $A^{-1}$ , con $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ , exactamente cuando su aplicación no pierde información: entradas distintas dan salidas distintas. El determinante mide cómo $A$ cambia los volúmenes (con signo para las inversiones), así que $A$ es invertible exactamente cuando $\det A\neq0$ . Para una matriz $2\times2$ , $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . Reglas útiles: $\det(AB)=\det A\,\det B$ y $\det(A^{-1})=1/\det A$ .

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

Invertible no significa seguro. El número de condición $\kappa(A)$ indica cuánto puede amplificarse en la solución $\mathbf{x}$ un pequeño error relativo en $\mathbf{b}$ (o en las entradas de $A$ ). Regla práctica: se pierden unos $\log_{10}\kappa$ de los aproximadamente 16 dígitos de la doble precisión. Un determinante pequeño por sí solo no prueba nada, porque depende de la escala: $0{,}001\,I$ tiene un determinante diminuto pero $\kappa=1$ . Lo que dispara $\kappa$ son las columnas casi colineales.

Una inversa y un casi falloPara

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

, así que

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. Compare ahora

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}

: sus columnas son casi iguales,

\det B=0{,}0001

\kappa(B)

es de unos

4\times10^{4}

, de modo que un error relativo de

10^{-6}

en los datos puede convertirse en un error de aproximadamente

4\,\%

en la solución.

Invertible: cuadrada con $\det A\neq0$ ; no se pierde información.
Número de condición: cuánto se amplifican los errores de los datos; uno grande indica una resolución frágil.
Nunca forme $A^{-1}$ para resolver: una resolución por factorización es más rápida y precisa.

Los activos colineales rompen las matrices de covarianzaDos ETF que siguen casi el mismo índice dan una matriz de covarianza con filas casi iguales. Su

\kappa

es enorme, así que un optimizador de varianza mínima basado en su inversa oscila mucho con cambios mínimos en los datos. Compruebe

\kappa

(o elimine o combine los casi duplicados) antes de fiarse de los pesos.

Lab: qué se califica

La inversa de una matriz de 2 por 220 pts
Un determinante de 3 por 310 pts
Hallar la matriz singular15 pts
Dígitos fiables15 pts
Buenas prácticas numéricas15 pts
Reglas del determinante10 pts
Por qué no invertir15 pts

Deshacer una aplicación

\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}},\qquad \frac{\|\delta\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}\lesssim\kappa(A)\,\frac{\|\delta\mathbf{b}\|}{\|\mathbf{b}\|}

(1)

Una inversa y un casi falloPara

A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}

\det A=24-14=10

, así que

A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}

. Compare ahora

B=\begin{pmatrix}1&1\\1&1{,}0001\end{pmatrix}

: sus columnas son casi iguales,

\det B=0{,}0001

\kappa(B)

es de unos

4\times10^{4}

, de modo que un error relativo de

10^{-6}

en los datos puede convertirse en un error de aproximadamente

4\,\%

en la solución.

Invertible: cuadrada con $\det A\neq0$ ; no se pierde información.
Número de condición: cuánto se amplifican los errores de los datos; uno grande indica una resolución frágil.
Nunca forme $A^{-1}$ para resolver: una resolución por factorización es más rápida y precisa.

Los activos colineales rompen las matrices de covarianzaDos ETF que siguen casi el mismo índice dan una matriz de covarianza con filas casi iguales. Su

\kappa

es enorme, así que un optimizador de varianza mínima basado en su inversa oscila mucho con cambios mínimos en los datos. Compruebe

\kappa

(o elimine o combine los casi duplicados) antes de fiarse de los pesos.

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